Номер 435, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

435. При каких значениях $a$ данное неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$:

1) $x^2 - 4x + a > 0;$

2) $x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2 \ge 0;$

3) $-\frac{1}{4}x^2 + 5ax - 9a^2 - 8a < 0;$

4) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0?$

1) Дано неравенство $x^2 - 4x + a > 0$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 4x + a$. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Для того чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$, необходимо, чтобы вся парабола находилась выше оси абсцисс. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$ не должно иметь действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательность дискриминанта ($D < 0$).

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

Решим неравенство $D < 0$:

$16 - 4a < 0$

$16 < 4a$

$a > 4$

Таким образом, данное неравенство выполняется для всех действительных $x$ при $a > 4$.

Ответ: $a > 4$.

2) Дано неравенство $x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2 \ge 0$.

Левая часть неравенства — это квадратичная функция $f(x) = x^2 + (a - 1)x + 1 - a - a^2$. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх. Чтобы неравенство $f(x) \ge 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна находиться выше оси абсцисс или касаться её. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение может иметь не более одного действительного корня. Условием для этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - a - a^2) = (a^2 - 2a + 1) - 4 + 4a + 4a^2 = 5a^2 + 2a - 3$.

Решим неравенство $D \le 0$ относительно переменной $a$:

$5a^2 + 2a - 3 \le 0$.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $5a^2 + 2a - 3 = 0$.

$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 \pm 8}{10}$.

$a_1 = \frac{-2 - 8}{10} = -1$.

$a_2 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Парабола $y = 5a^2 + 2a - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $5a^2 + 2a - 3 \le 0$ выполняется для значений $a$, находящихся между корнями (включая сами корни).

$-1 \le a \le \frac{3}{5}$.

Ответ: $a \in [-1; \frac{3}{5}]$.

3) Дано неравенство $-\frac{1}{4}x^2 + 5ax - 9a^2 - 8a < 0$.

Левая часть — квадратичная функция $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 5ax - 9a^2 - 8a$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4}$ (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз. Чтобы неравенство $f(x) < 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна быть полностью расположена ниже оси абсцисс. Это значит, что у нее не должно быть действительных корней, то есть дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (5a)^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{4}) \cdot (-9a^2 - 8a) = 25a^2 + 1 \cdot (-9a^2 - 8a) = 25a^2 - 9a^2 - 8a = 16a^2 - 8a$.

Решим неравенство $D < 0$:

$16a^2 - 8a < 0$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$8a(2a - 1) < 0$.

Корни уравнения $8a(2a - 1) = 0$ равны $a = 0$ и $a = \frac{1}{2}$. График функции $y = 16a^2 - 8a$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

$0 < a < \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{2})$.

4) Дано неравенство $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0$.

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 1 = 0 \implies a = 1$.

Подставим $a = 1$ в исходное неравенство:

$(1 - 1)x^2 - (1 + 1)x + 1 + 1 > 0$

$0 \cdot x^2 - 2x + 2 > 0$

$-2x + 2 > 0$

$-2x > -2$

$x < 1$

Это неравенство выполняется не для всех действительных значений $x$. Следовательно, $a = 1$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \neq 1$).

В этом случае неравенство является квадратичным. Для того чтобы оно выполнялось для всех $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх, то есть коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a - 1 > 0 \implies a > 1$.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-(a + 1))^2 - 4(a - 1)(a + 1) = (a + 1)^2 - 4(a^2 - 1) = (a^2 + 2a + 1) - (4a^2 - 4) = -3a^2 + 2a + 5$.

Решим неравенство $D < 0$:

$-3a^2 + 2a + 5 < 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$3a^2 - 2a - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $3a^2 - 2a - 5 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{2 \pm 8}{6}$.

$a_1 = \frac{2 - 8}{6} = -1$.

$a_2 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 3a^2 - 2a - 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $3a^2 - 2a - 5 > 0$ выполняется при $a < -1$ или $a > \frac{5}{3}$.

Теперь объединим полученное решение с условием $a > 1$. Нам нужно найти пересечение множеств $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$ и $a \in (1; +\infty)$.

Пересечением этих интервалов является $a > \frac{5}{3}$.

Ответ: $a > \frac{5}{3}$.