Номер 436, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

436. При каких значениях a не имеет решений неравенство:

1) $-x^2 + 6x - a > 0;$

2) $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0;$

3) $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0?$

1) Дано неравенство $-x^2 + 6x - a > 0$. Это квадратичное неравенство. График функции $y = -x^2 + 6x - a$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$). Неравенство требует найти значения $x$, при которых парабола находится выше оси абсцисс ($y > 0$). Чтобы это неравенство не имело решений, график функции должен полностью находиться под осью абсцисс или касаться её, то есть для всех $x$ должно выполняться условие $-x^2 + 6x - a \le 0$. Это возможно только в том случае, если соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + 6x - a = 0$ имеет не более одного действительного корня. Условием этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$). Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-1)(-a) = 36 - 4a$. Теперь решим неравенство $D \le 0$: $36 - 4a \le 0$ $36 \le 4a$ $a \ge 9$.
Ответ: $a \in [9; +\infty)$.

2) Дано неравенство $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 < 0$. Это квадратичное неравенство. График функции $y = x^2 - (a + 1)x + 3a - 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1$). Неравенство требует найти значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс ($y < 0$). Чтобы это неравенство не имело решений, график функции должен полностью находиться над осью абсцисс или касаться её, то есть для всех $x$ должно выполняться условие $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 \ge 0$. Это возможно только в том случае, если соответствующее квадратное уравнение $x^2 - (a + 1)x + 3a - 5 = 0$ имеет не более одного действительного корня, то есть его дискриминант $D \le 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-(a + 1))^2 - 4(1)(3a - 5) = (a + 1)^2 - 4(3a - 5)$ $D = (a^2 + 2a + 1) - (12a - 20) = a^2 - 10a + 21$. Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$: $a^2 - 10a + 21 \le 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 10a + 21 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $a_1 = 3$ и $a_2 = 7$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $a^2 - 10a + 21 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Следовательно, $3 \le a \le 7$.
Ответ: $a \in [3; 7]$.

3) Дано неравенство $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) < 0$. Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $a = 0$. При $a=0$ неравенство вырождается в линейное: $0 \cdot x^2 + (0 - 1)x + (0 - 1) < 0$ $-x - 1 < 0$ $-x < 1$ $x > -1$. Это неравенство имеет бесконечно много решений (все $x$ из интервала $(-1; +\infty)$), поэтому значение $a=0$ нам не подходит.
Случай 2: $a \ne 0$. В этом случае мы имеем квадратичное неравенство. Чтобы оно не имело решений, необходимо, чтобы парабола $y = ax^2 + (a - 1)x + (a - 1)$ всегда принимала неотрицательные значения, то есть $ax^2 + (a - 1)x + (a - 1) \ge 0$ для всех действительных $x$. Это условие выполняется, когда одновременно верны два утверждения: 1. Ветви параболы направлены вверх, то есть старший коэффициент положителен: $a > 0$. 2. Парабола не пересекает ось абсцисс или касается её в одной точке, то есть дискриминант $D \le 0$.
Найдем дискриминант: $D = (a - 1)^2 - 4a(a - 1) = (a - 1)(a - 1 - 4a) = (a - 1)(-3a - 1)$. Решим неравенство $D \le 0$: $(a - 1)(-3a - 1) \le 0$. Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $(a - 1)(3a + 1) \ge 0$. Корнями уравнения $(a - 1)(3a + 1) = 0$ являются $a=1$ и $a=-1/3$. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty)$.
Теперь нам нужно найти пересечение решений двух условий ($a>0$ и $D \le 0$): $\begin{cases} a > 0 \\ a \in (-\infty; -1/3] \cup [1; +\infty) \end{cases}$ Общим решением системы является промежуток $a \ge 1$.
Ответ: $a \in [1; +\infty)$.