Номер 430, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

430. Найдите множество решений неравенства:

1) $5x^2 - 7|x| + 2 \ge 0;$

2) $x^2 + 10|x| - 24 \le 0.$

1) $5x^2 - 7|x| + 2 \ge 0$
Данное неравенство является четной функцией относительно $x$, так как $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
Получим квадратное неравенство относительно $y$:
$5y^2 - 7y + 2 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5y^2 - 7y + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Парабола $f(y) = 5y^2 - 7y + 2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $y^2$ положителен). Следовательно, неравенство $5y^2 - 7y + 2 \ge 0$ выполняется, когда $y$ находится вне интервала между корнями, то есть $y \le \frac{2}{5}$ или $y \ge 1$.
Вернемся к замене, учитывая, что $y \ge 0$:
1. $y \le \frac{2}{5}$ превращается в $0 \le y \le \frac{2}{5}$.
$0 \le |x| \le \frac{2}{5}$. Это неравенство равносильно $|x| \le \frac{2}{5}$, что дает решение $-\frac{2}{5} \le x \le \frac{2}{5}$.
2. $y \ge 1$.
$|x| \ge 1$. Это неравенство распадается на два: $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Объединяя полученные решения, получаем итоговое множество решений.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{2}{5}; \frac{2}{5}] \cup [1; +\infty)$.

2) $x^2 + 10|x| - 24 \le 0$
Так же, как и в предыдущем задании, используем свойство $x^2 = |x|^2$ и сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.
Получим квадратное неравенство:
$y^2 + 10y - 24 \le 0$
Найдем корни уравнения $y^2 + 10y - 24 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$y_2 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Парабола $f(y) = y^2 + 10y - 24$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $y^2 + 10y - 24 \le 0$ выполняется, когда $y$ находится между корнями: $-12 \le y \le 2$.
Учитывая условие $y \ge 0$, получаем систему неравенств:
$\begin{cases} -12 \le y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является $0 \le y \le 2$.
Выполним обратную замену:
$0 \le |x| \le 2$.
Неравенство $|x| \ge 0$ выполняется для любого $x$. Остается решить неравенство $|x| \le 2$.
Это неравенство равносильно $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.