Номер 424, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

424. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0, \\ x + 4 \ge 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 \le 0, \\ 6x - x^2 < 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0, \\ x > 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 6$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), то неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-2; 3]$.

Второе неравенство системы: $x > 0$. Его решение: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-2; 3] \cap (0; +\infty)$.

Общим решением будет интервал $x \in (0; 3]$.

Ответ: $(0; 3]$

2) $ \begin{cases} 2x^2 - 11x - 6 \ge 0, \\ x + 4 \ge 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x^2 - 11x - 6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 11x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169$.

Корни: $x_1 = \frac{11 - 13}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{11 + 13}{4} = \frac{24}{4} = 6$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 11x - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 11x - 6 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty; -0.5] \cup [6; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Решение: $x \in [-4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty; -0.5] \cup [6; +\infty)$ и $[-4; +\infty)$.

Пересечение первого промежутка $(-\infty; -0.5]$ с $[-4; +\infty)$ дает $[-4; -0.5]$.

Пересечение второго промежутка $[6; +\infty)$ с $[-4; +\infty)$ дает $[6; +\infty)$.

Объединяем полученные результаты: $x \in [-4; -0.5] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $[-4; -0.5] \cup [6; +\infty)$

3) $ \begin{cases} x^2 - 9x - 10 \le 0, \\ 6x - x^2 < 0; \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 9x - 10 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 9x - 10 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 10]$.

Решим второе неравенство: $6x - x^2 < 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 6x > 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) > 0$.

Корни уравнения $x(x-6)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=6$.

Ветви параболы $y=x^2-6x$ направлены вверх, поэтому неравенство $x(x-6)>0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-1; 10] \cap ((-\infty; 0) \cup (6; +\infty))$.

Пересечение $[-1; 10]$ с $(-\infty; 0)$ дает $[-1; 0)$.

Пересечение $[-1; 10]$ с $(6; +\infty)$ дает $(6; 10]$.

Объединяем полученные результаты: $x \in [-1; 0) \cup (6; 10]$.

Ответ: $[-1; 0) \cup (6; 10]$

4) $ \begin{cases} x^2 - x - 12 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 12 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 12 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 10$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-5; 2)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -3] \cup [4; +\infty)) \cap (-5; 2)$.

Пересечение $(-\infty; -3]$ с $(-5; 2)$ дает $(-5; -3]$.

Пересечение $[4; +\infty)$ с $(-5; 2)$ является пустым множеством.

Следовательно, решением системы является $x \in (-5; -3]$.

Ответ: $(-5; -3]$