Номер 420, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

420. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{2x^2 - 9x - 18}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{15 + 2x - x^2}}$.

1) Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{2x^2 - 9x - 18}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, должно выполняться неравенство:

$2x^2 - 9x - 18 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 15}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 15}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Квадратичная функция $y = 2x^2 - 9x - 18$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, область определения выражения — это объединение промежутков $(-\infty; -1,5]$ и $[6; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1,5] \cup [6; \infty)$.

2) Для нахождения области определения выражения $\frac{1}{\sqrt{15 + 2x - x^2}}$ необходимо выполнение двух условий: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$15 + 2x - x^2 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 < 0$

Теперь решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$

Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Значит, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-3; 5)$.

Ответ: $(-3; 5)$.