Номер 415, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

415. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $20 - 8x - x^2 > 0;$

2) $4x^2 - 15x - 4 < 0?$

1) Решим неравенство $20 - 8x - x^2 > 0$.
Для начала умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 8x - 20 < 0$.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 20 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства функции $y = x^2 + 8x - 20$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 12}{2} = -10$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 8x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Значения функции будут отрицательными (меньше нуля) на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства $x^2 + 8x - 20 < 0$ — это интервал $(-10; 2)$.
Теперь найдем все целые числа, которые находятся в этом интервале. Это числа, большие -10 и меньшие 2:
-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Всего таких чисел 11.
Ответ: 11.

2) Решим неравенство $4x^2 - 15x - 4 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 15x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 15x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 15x - 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решением неравенства является интервал $(-\frac{1}{4}; 4)$ или $(-0.25; 4)$.
Найдем все целые числа, которые принадлежат этому интервалу. Это числа, большие -0.25 и меньшие 4:
0, 1, 2, 3.
Всего таких чисел 4.
Ответ: 4.