Номер 410, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

410. При каких значениях $x$:

1) значения трёхчлена $-3x^2 + 6x + 1$ больше $-\frac{4}{3}$;

2) значения трёхчлена $-5x^2 + 11x + 2$ не больше $-\frac{2}{5}$?

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения трёхчлена $-3x^2 + 6x + 1$ больше $-\frac{4}{3}$, нужно решить неравенство:

$-3x^2 + 6x + 1 > -\frac{4}{3}$

Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:

$-3x^2 + 6x + 1 + \frac{4}{3} > 0$

Приведём подобные члены:

$-3x^2 + 6x + \frac{3}{3} + \frac{4}{3} > 0$

$-3x^2 + 6x + \frac{7}{3} > 0$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$-9x^2 + 18x + 7 > 0$

Для удобства решения умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$9x^2 - 18x - 7 < 0$

Далее найдём корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 18x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 324 + 252 = 576$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 9} = \frac{18 \pm 24}{18}$

$x_1 = \frac{18 - 24}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{18 + 24}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

Мы решаем неравенство $9x^2 - 18x - 7 < 0$. График функции $y = 9x^2 - 18x - 7$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 9, что больше 0). Следовательно, квадратичный трёхчлен принимает отрицательные значения на интервале между его корнями.

Таким образом, решение неравенства — это $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{7}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{7}{3})$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых значения трёхчлена $-5x^2 + 11x + 2$ не больше $-\frac{2}{5}$, нужно решить неравенство. Фраза "не больше" означает "меньше или равно" ($\leq$).

$-5x^2 + 11x + 2 \leq -\frac{2}{5}$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$-5x^2 + 11x + 2 + \frac{2}{5} \leq 0$

Приведём подобные члены:

$-5x^2 + 11x + \frac{10}{5} + \frac{2}{5} \leq 0$

$-5x^2 + 11x + \frac{12}{5} \leq 0$

Умножим обе части неравенства на 5:

$-25x^2 + 55x + 12 \leq 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$25x^2 - 55x - 12 \geq 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 - 55x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 3025 + 1200 = 4225$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 25} = \frac{55 \pm 65}{50}$

$x_1 = \frac{55 - 65}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{55 + 65}{50} = \frac{120}{50} = \frac{12}{5}$

Мы решаем неравенство $25x^2 - 55x - 12 \geq 0$. График функции $y = 25x^2 - 55x - 12$ — это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 25, что больше 0). Следовательно, трёхчлен принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) при значениях $x$ не между корнями, то есть включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [\frac{12}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [\frac{12}{5}; +\infty)$.