Номер 403, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

403. На рисунке 80 изображён график функции $y = -x^2 + 2x - 2$. Найдите множество решений неравенства:

1) $-x^2 + 2x - 2 < 0$;

2) $-x^2 + 2x - 2 \le 0$;

3) $-x^2 + 2x - 2 > 0$;

4) $-x^2 + 2x - 2 \ge 0$.

Рис. 78

Рис. 79

Рис. 80

Для решения данных неравенств воспользуемся графиком функции $y = -x^2 + 2x - 2$, который изображен на рисунке 80. График этой функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы, чтобы определить ее расположение относительно оси абсцисс. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
Подставим $x_v=1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_v$:
$y_v = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Поскольку вершина параболы является ее наивысшей точкой и расположена ниже оси $Ox$ (так как $y_v = -1 < 0$), весь график функции находится в нижней полуплоскости, то есть все значения функции отрицательны при любом $x$.

1) $-x^2 + 2x - 2 < 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y < 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси $Ox$. Так как вся парабола находится ниже оси $Ox$, неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) $-x^2 + 2x - 2 \le 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y \le 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси $Ox$ или на самой оси. Поскольку вся парабола находится ниже оси $Ox$ и не пересекает ее, неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $-x^2 + 2x - 2 > 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y > 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси $Ox$. Так как весь график находится ниже оси $Ox$ (максимальное значение функции равно -1), таких значений $x$ не существует.
Ответ: решений нет ($\emptyset$).

4) $-x^2 + 2x - 2 \ge 0$
Требуется найти значения $x$, при которых $y \ge 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным выше оси $Ox$ или на самой оси. Так как весь график находится строго ниже оси $Ox$, таких значений $x$ не существует.
Ответ: решений нет ($\emptyset$).