Номер 18, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

18. Известно, что $m - n = 8$. Найдите множество значений выражения $mn$.

А) $[-16; +\infty)$
Б) $[8; +\infty)$
В) $(-\infty; +\infty)$
Г) определить невозможно

Нам дано равенство $m - n = 8$. Необходимо найти множество значений, которые может принимать произведение $mn$.

Для начала выразим одну переменную через другую из данного равенства. Например, выразим $m$ через $n$: $m = n + 8$.

Теперь подставим это выражение в произведение $mn$, чтобы получить функцию от одной переменной $n$: $mn = (n + 8)n = n^2 + 8n$.

Мы получили квадратичную функцию $f(n) = n^2 + 8n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$). Это означает, что функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ по оси абсцисс (в нашем случае по оси $n$) находится по формуле $n_{верш} = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $f(n) = n^2 + 8n$ коэффициенты равны $a = 1$ и $b = 8$.

Найдем координату вершины: $n_{верш} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.

Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив $n = -4$ в выражение для произведения: $mn_{мин} = (-4)^2 + 8(-4) = 16 - 32 = -16$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, а ее наименьшее значение равно $-16$, множество значений выражения $mn$ будет включать все числа от $-16$ до плюс бесконечности. Таким образом, искомое множество значений – это промежуток $[-16; +\infty)$.

Ответ: А) $[-16; +\infty)$