Номер 15, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. При каких значениях $b$ и $c$ вершина параболы $y = x^2 + bx + c$ находится в точке $M(3; 8)$?

А) $b = 6, c = -19$

Б) $b = -6, c = 17$

В) $b = -3, c = 8$

Г) определить невозможно

Для того чтобы найти значения коэффициентов b и c, можно воспользоваться формулой для координат вершины параболы или вершинной формой уравнения параболы.

Способ 1: Через формулы координат вершины

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 + bx + c$. В общем виде уравнение параболы записывается как $y = ax^2 + bx + c$, следовательно, в нашем случае коэффициент $a = 1$.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -b / (2a)$
$y_0 = y(x_0)$

По условию, вершина параболы находится в точке $M(3; 8)$, значит, $x_0 = 3$ и $y_0 = 8$.

Сначала найдем коэффициент b, подставив известные значения $x_0 = 3$ и $a = 1$ в формулу для абсциссы вершины:
$3 = -b / (2 \cdot 1)$
$3 = -b / 2$
Умножив обе части на -2, получим:
$b = -6$

Теперь найдем коэффициент c. Поскольку точка $M(3; 8)$ является точкой на параболе, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x = 3$, $y = 8$ и найденное значение $b = -6$ в исходное уравнение:
$8 = (3)^2 + (-6) \cdot 3 + c$
$8 = 9 - 18 + c$
$8 = -9 + c$
Отсюда находим c:
$c = 8 + 9 = 17$

Способ 2: Через вершинную форму уравнения параболы

Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0; y_0)$ можно записать в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Подставим известные нам значения $a = 1$, $x_0 = 3$ и $y_0 = 8$:
$y = 1 \cdot (x - 3)^2 + 8$
$y = (x - 3)^2 + 8$

Теперь раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду $y = x^2 + bx + c$:
$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 8$
$y = (x^2 - 6x + 9) + 8$
$y = x^2 - 6x + 17$

Сравнивая полученное уравнение с $y = x^2 + bx + c$, находим, что $b = -6$ и $c = 17$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату, который соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $b = -6, c = 17$