Номер 13, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. На рисунке изображён график функции $y = x^2 + 4x + 1$. Используя рисунок, укажите промежуток возрастания функции.

А) $(-\infty; -2]$

Б) $[-2; +\infty)$

В) $[-3; +\infty)$

Г) определить невозможно

Задача состоит в том, чтобы по графику функции определить промежуток ее возрастания. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента (x) из этого промежутка соответствует большее значение функции (y). Визуально это означает, что график функции на этом промежутке "идет вверх" при движении слева направо.

На рисунке изображена парабола — график функции $y = x^2 + 4x + 1$. Ветви этой параболы направлены вверх. Это значит, что функция сначала убывает до своей самой низкой точки (вершины), а затем начинает возрастать.

Чтобы найти промежуток возрастания, необходимо определить абсциссу (координату по оси x) вершины параболы. По графику видно, что вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = -2$.

Наблюдая за графиком, мы видим, что справа от точки $x = -2$ линия графика направлена вверх. Это означает, что функция возрастает, когда x принимает значения из промежутка от $-2$ до плюс бесконечности. Крайняя левая точка $x=-2$ включается в промежуток возрастания.

Таким образом, промежуток возрастания функции — это $[-2; +\infty)$.

Для проверки можно найти абсциссу вершины аналитически. Для квадратичной функции вида $y = ax^2+bx+c$ абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $b=4$.
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Этот расчет подтверждает, что абсцисса вершины, определенная по графику, верна.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $[-2; +\infty)$