Номер 17, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

17. При каком значении $a$ наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 6x + a$ равно 4?

А) -5

Б) 4

В) 7

Г) 8

Чтобы найти значение параметра $a$, при котором наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 6x + a$ равно 4, можно воспользоваться свойствами квадратичной функции.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Способ 1: Нахождение наименьшего значения через вершину параболы

Координата $x_0$ вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, вычисляется по формуле $x_0 = -B / (2A)$.
Для нашей функции $A=3$, $B=-6$. Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -(-6) / (2 \cdot 3) = 6 / 6 = 1$.

Наименьшее значение функции ($y_{min}$) — это ее значение в точке $x_0 = 1$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы выразить $y_{min}$ через $a$:
$y_{min} = 3(1)^2 - 6(1) + a = 3 - 6 + a = a - 3$.

По условию задачи, наименьшее значение функции должно быть равно 4. Приравняем полученное выражение к 4 и решим уравнение:
$a - 3 = 4$
$a = 4 + 3$
$a = 7$.

Способ 2: Метод выделения полного квадрата

Преобразуем выражение для функции:
$y = 3x^2 - 6x + a$
Вынесем общий множитель 3 за скобки у слагаемых, содержащих $x$:
$y = 3(x^2 - 2x) + a$
Дополним выражение в скобках до полного квадрата разности $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$, для этого прибавим и вычтем 1:
$y = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + a$
$y = 3((x - 1)^2 - 1) + a$
Раскроем внешние скобки:
$y = 3(x-1)^2 - 3 + a$

Выражение $3(x-1)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю), его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=1$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно:
$y_{min} = 0 - 3 + a = a - 3$.

Зная из условия, что $y_{min} = 4$, получаем:
$a - 3 = 4$
$a = 7$.

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 7