Номер 402, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

402. На рисунке 79 изображён график функции $y = x^2 - 4x + 4$. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 4x + 4 < 0$;3) $x^2 - 4x + 4 > 0;

2) $x^2 - 4x + 4 \le 0$;4) $x^2 - 4x + 4 \ge 0$.

Рис. 79

Данное неравенство соответствует поиску значений $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится строго ниже оси абсцисс ($y < 0$). На представленном графике видно, что парабола не имеет точек с отрицательной ординатой, так как её самая нижняя точка, вершина, лежит на оси $x$ (в точке $y=0$). Алгебраически, выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x-2)^2$. Неравенство $(x-2)^2 < 0$ не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

Необходимо найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится на оси абсцисс или ниже неё ($y \le 0$). График не имеет точек ниже оси $x$, но касается её в одной точке — вершине параболы. Из графика видно, что это происходит при $x=2$. В этой точке $y=0$. Таким образом, равенство $x^2 - 4x + 4 = 0$ выполняется, а строгое неравенство $x^2 - 4x + 4 < 0$ — нет. Алгебраически, неравенство $(x-2)^2 \le 0$ возможно только при условии $(x-2)^2 = 0$, что дает единственное решение $x=2$.

Ответ: $\{2\}$.

Нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится строго выше оси абсцисс ($y > 0$). График показывает, что парабола лежит выше оси $x$ для всех значений $x$, за исключением одной точки, где она касается оси, — вершины при $x=2$. В этой точке $y=0$, а не $y > 0$. Следовательно, решением являются все действительные числа, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Решением этого неравенства являются все значения $x$, при которых график функции $y = x^2 - 4x + 4$ находится на оси абсцисс или выше неё ($y \ge 0$). Из графика видно, что вся парабола удовлетворяет этому условию, так как её минимальное значение равно нулю. Алгебраически, выражение $(x-2)^2$ как квадрат действительного числа всегда больше или равно нулю. Это верно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.