Номер 407, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

407. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 > 1$;

2) $x^2 < 3$;

3) $-3x^2 \geq -12x$;

4) $-2x^2 < -128$.

1)Исходное неравенство: $x^2 > 1$.
Перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:
$x^2 - 1 > 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1) > 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ в каждом интервале.
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2-1)(2+1) = 1 \cdot 3 = 3 > 0$.
- При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0-1)(0+1) = -1 \cdot 1 = -1 < 0$.
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2-1)(-2+1) = -3 \cdot (-1) = 3 > 0$.
Так как нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, выбираем интервалы, где получился знак "+".
Таким образом, решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$

2)Исходное неравенство: $x^2 < 3$.
Перенесем 3 в левую часть:
$x^2 - 3 < 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$
Найдем корни уравнения $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$. Корнями являются $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала. График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале, расположенном между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал, где $x$ находится между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.
Ответ: $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$

3)Исходное неравенство: $-3x^2 \geq -12x$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:
$-3x^2 + 12x \geq 0$
Для удобства разделим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 4x \leq 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) \leq 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
График функции $y = x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).
Следовательно, решение находится на отрезке от 0 до 4.
Ответ: $[0, 4]$

4)Исходное неравенство: $-2x^2 < -128$.
Разделим обе части неравенства на -2. При этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 > 64$
Перенесем 64 в левую часть:
$x^2 - 64 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 8)(x + 8) > 0$
Найдем корни уравнения $(x - 8)(x + 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
График функции $y = x^2 - 64$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) на интервалах вне корней.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -8$ и $x > 8$.
Ответ: $(-\infty, -8) \cup (8, \infty)$