Номер 411, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

411. При каких значениях x:

1) значения трёхчлена $x^2 - 2x - 11$ меньше $\frac{1}{4}$;

2) значения трёхчлена $-3x^2 + 8x + 6$ не меньше $-\frac{2}{3}$?

1) значения трёхчлена $x^2 - 2x - 11$ меньше $\frac{1}{4}$

Чтобы найти значения $x$, при которых значения трёхчлена $x^2 - 2x - 11$ меньше $\frac{1}{4}$, необходимо решить следующее неравенство:
$x^2 - 2x - 11 < \frac{1}{4}$

Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$x^2 - 2x - 11 - \frac{1}{4} < 0$

Приведём константы к общему знаменателю:
$x^2 - 2x - \frac{44}{4} - \frac{1}{4} < 0$
$x^2 - 2x - \frac{45}{4} < 0$

Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - \frac{45}{4} = 0$. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4:
$4x^2 - 8x - 45 = 0$

Найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 64 + 16 \cdot 45 = 64 + 720 = 784$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 28}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 28}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

Мы решаем неравенство $x^2 - 2x - \frac{45}{4} < 0$. Графиком квадратичной функции $y = x^2 - 2x - \frac{45}{4}$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными между её корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{5}{2}; \frac{9}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{9}{2})$.

2) значения трёхчлена $-3x^2 + 8x + 6$ не меньше $-\frac{2}{3}$

Условие "не меньше" означает "больше или равно" ($\ge$). Составим и решим неравенство:
$-3x^2 + 8x + 6 \ge -\frac{2}{3}$

Перенесём все слагаемые в левую часть:
$-3x^2 + 8x + 6 + \frac{2}{3} \ge 0$

Приведём константы к общему знаменателю:
$-3x^2 + 8x + \frac{18}{3} + \frac{2}{3} \ge 0$
$-3x^2 + 8x + \frac{20}{3} \ge 0$

Чтобы упростить неравенство, умножим обе его части на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$9x^2 - 24x - 20 \le 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 24x - 20 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 576 + 720 = 1296$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 36}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 36}{2 \cdot 9} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

Мы решаем неравенство $9x^2 - 24x - 20 \le 0$. Графиком функции $y = 9x^2 - 24x - 20$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}]$.