Номер 406, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

406. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 \le 49$;

2) $x^2 > 5$;

3) $7x^2 \le 4x$;

4) $0,9x^2 < -27x$.

1) Дано неравенство $x^2 \le 49$.
Для решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $f(x) \le 0$:
$x^2 - 49 \le 0$
Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x - 7)(x + 7) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Решим неравенство методом интервалов. Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решением является отрезок от -7 до 7.
Ответ: $x \in [-7; 7]$.

2) Дано неравенство $x^2 > 5$.
Перенесем 5 в левую часть:
$x^2 - 5 > 0$
Разложим левую часть на множители, как разность квадратов:
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$
Найдем корни уравнения $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$. Корни: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции больше нуля (положительны) на интервалах, находящихся вне корней.
Следовательно, решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

3) Дано неравенство $7x^2 \le 4x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$7x^2 - 4x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x - 4) \le 0$
Найдем корни уравнения $x(7x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $7x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4/7$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 4x$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 7, что больше нуля). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства находится между 0 и 4/7, включая концы отрезка.
Ответ: $x \in [0; 4/7]$.

4) Дано неравенство $0,9x^2 < -27x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,9x^2 + 27x < 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,9x + 27) < 0$
Найдем корни уравнения $x(0,9x + 27) = 0$.
Первый корень: $x_1 = 0$.
Второй корень: $0,9x + 27 = 0 \Rightarrow 0,9x = -27 \Rightarrow x_2 = -27 / 0,9 = -30$.
Графиком функции $y = 0,9x^2 + 27x$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент $0,9 > 0$). Значения функции меньше нуля (отрицательны) на интервале между корнями.
Поскольку неравенство строгое (<), сами корни в решение не входят.
Ответ: $x \in (-30; 0)$.