Номер 413, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

413. При каких значениях аргумента значения функции $y = \frac{3}{2}x^2 - 7x + 1$ меньше соответствующих значений функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4?

Для того чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ значения функции $y = \frac{3}{2}x^2 - 7x + 1$ меньше соответствующих значений функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4$, необходимо составить и решить неравенство:

$\frac{3}{2}x^2 - 7x + 1 < -\frac{1}{2}x^2 - 4$

Перенесём все слагаемые из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные:

$\frac{3}{2}x^2 - 7x + 1 + \frac{1}{2}x^2 + 4 < 0$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^2) - 7x + (1 + 4) < 0$

$\frac{4}{2}x^2 - 7x + 5 < 0$

$2x^2 - 7x + 5 < 0$

Мы получили квадратное неравенство. Чтобы его решить, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдём корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь вернёмся к неравенству $2x^2 - 7x + 5 < 0$. Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 7x + 5$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=2.5$.

Значения функции $f(x)$ будут меньше нуля (то есть парабола будет находиться ниже оси абсцисс) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(1; 2.5)$.

Ответ: значения функции $y = \frac{3}{2}x^2 - 7x + 1$ меньше соответствующих значений функции $y = -\frac{1}{2}x^2 - 4$ при $x \in (1; 2.5)$.