Номер 412, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

412. При каких значениях аргумента значения функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9$ больше соответствующих значений функции $y = 2x - 1$?

Чтобы найти значения аргумента x, при которых значения функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9$ больше соответствующих значений функции $y = 2x - 1$, необходимо решить следующее неравенство:

$-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9 > 2x - 1$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дробей. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится.

$2 \cdot (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9) > 2 \cdot (2x - 1)$

$-x^2 + 3x + 18 > 4x - 2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 3x - 4x + 18 + 2 > 0$

$-x^2 - x + 20 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + x - 20 < 0$

Теперь решим это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы решаем неравенство $x^2 + x - 20 < 0$. Графиком функции $f(x) = x^2 + x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Парабола находится ниже оси Ox (то есть принимает отрицательные значения) между точками ее пересечения с этой осью, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это все значения x, которые находятся в интервале между -5 и 4.

Ответ: при $x \in (-5; 4)$.