Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

405. Решите неравенство:

1) $x^2 + 4x + 3 > 0$;

2) $x^2 - 3x + 2 \leq 0$;

3) $-x^2 + 12x + 45 < 0$;

4) $-3x^2 - 5x - 2 \geq 0$;

5) $x^2 - 5x > 0$;

6) $-25x^2 + 16 \leq 0$;

7) $5x^2 - 3x + 1 \geq 0$;

8) $-3x^2 + 6x - 4 > 0$;

9) $\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \leq 0$;

10) $-x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} > 0$;

11) $2x^2 - 2x + 0.5 < 0$.

1) $x^2 + 4x + 3 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
$a=1, b=4, c=3$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=-1$.
Значения функции положительны ($> 0$) на интервалах, где график находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, $x < -3$ или $x > -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.

2) $x^2 - 3x + 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
$a=1, b=-3, c=2$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Значения функции неположительны ($\le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $1 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [1; 2]$.

3) $-x^2 + 12x + 45 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 12x - 45 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 12x - 45 = 0$.
$a=1, b=-12, c=-45$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$.
$x_1 = \frac{12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 18}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 18}{2} = 15$.
Ветви параболы $y = x^2 - 12x - 45$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Значения функции положительны ($> 0$) за пределами корней.
Таким образом, $x < -3$ или $x > 15$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (15; +\infty)$.

4) $-3x^2 - 5x - 2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак:
$3x^2 + 5x + 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x + 2 = 0$.
$a=3, b=5, c=2$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x + 2$ направлены вверх ($a=3 > 0$).
Значения функции неположительны ($\le 0$) между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $-1 \le x \le -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in [-1; -\frac{2}{3}]$.

5) $x^2 - 5x > 0$

Разложим левую часть на множители: $x(x - 5) > 0$.
Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх ($a=1 > 0$).
Функция положительна за пределами корней.
Таким образом, $x < 0$ или $x > 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.

6) $-25x^2 + 16 \le 0$

Умножим на -1 и изменим знак: $25x^2 - 16 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $25x^2 - 16 = 0$.
$25x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{25} \implies x_{1,2} = \pm \frac{4}{5}$.
Ветви параболы $y = 25x^2 - 16$ направлены вверх ($a=25 > 0$).
Функция неотрицательна ($\ge 0$) за пределами корней, включая корни.
Таким образом, $x \le -\frac{4}{5}$ или $x \ge \frac{4}{5}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}] \cup [\frac{4}{5}; +\infty)$.

7) $5x^2 - 3x + 1 \ge 0$

Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 3x + 1 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), значит ветви параболы $y = 5x^2 - 3x + 1$ направлены вверх.
Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, она целиком лежит выше оси Ox. Это значит, что выражение $5x^2 - 3x + 1$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $5x^2 - 3x + 1 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

8) $-3x^2 + 6x - 4 > 0$

Найдем дискриминант уравнения $-3x^2 + 6x - 4 = 0$.
$D = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 36 - 48 = -12$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $x^2$ равен -3 (отрицательный), значит ветви параболы $y = -3x^2 + 6x - 4$ направлены вниз.
Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вниз, она целиком лежит ниже оси Ox. Это значит, что выражение $-3x^2 + 6x - 4$ всегда отрицательно.
Неравенство требует, чтобы выражение было положительным, что невозможно.
Ответ: решений нет.

9) $\frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 \le 0$

Умножим обе части неравенства на 3:
$x^2 - 6x + 9 \le 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(x-3)^2$.
Неравенство принимает вид $(x-3)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, т.е. $(x-3)^2 \ge 0$.
Следовательно, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ может выполняться только если $(x-3)^2 = 0$.
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Ответ: $x=3$.

10) $-x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{36} > 0$

Умножим обе части неравенства на -36 и изменим знак неравенства:
$36x^2 - 12x + 1 < 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(6x-1)^2$.
Неравенство принимает вид $(6x-1)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

11) $2x^2 - 2x + 0,5 < 0$

Умножим обе части неравенства на 2:
$4x^2 - 4x + 1 < 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(2x-1)^2$.
Неравенство принимает вид $(2x-1)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

406. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 \le 49$;

2) $x^2 > 5$;

3) $7x^2 \le 4x$;

4) $0,9x^2 < -27x$.

1) Дано неравенство $x^2 \le 49$.
Для решения перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство вида $f(x) \le 0$:
$x^2 - 49 \le 0$
Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x - 7)(x + 7) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Решим неравенство методом интервалов. Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решением является отрезок от -7 до 7.
Ответ: $x \in [-7; 7]$.

2) Дано неравенство $x^2 > 5$.
Перенесем 5 в левую часть:
$x^2 - 5 > 0$
Разложим левую часть на множители, как разность квадратов:
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$
Найдем корни уравнения $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$. Корни: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Графиком функции $y = x^2 - 5$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции больше нуля (положительны) на интервалах, находящихся вне корней.
Следовательно, решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

3) Дано неравенство $7x^2 \le 4x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$7x^2 - 4x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x - 4) \le 0$
Найдем корни уравнения $x(7x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $7x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4/7$.
Графиком функции $y = 7x^2 - 4x$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 7, что больше нуля). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства находится между 0 и 4/7, включая концы отрезка.
Ответ: $x \in [0; 4/7]$.

4) Дано неравенство $0,9x^2 < -27x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$0,9x^2 + 27x < 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,9x + 27) < 0$
Найдем корни уравнения $x(0,9x + 27) = 0$.
Первый корень: $x_1 = 0$.
Второй корень: $0,9x + 27 = 0 \Rightarrow 0,9x = -27 \Rightarrow x_2 = -27 / 0,9 = -30$.
Графиком функции $y = 0,9x^2 + 27x$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент $0,9 > 0$). Значения функции меньше нуля (отрицательны) на интервале между корнями.
Поскольку неравенство строгое (<), сами корни в решение не входят.
Ответ: $x \in (-30; 0)$.

407. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 > 1$;

2) $x^2 < 3$;

3) $-3x^2 \geq -12x$;

4) $-2x^2 < -128$.

1)Исходное неравенство: $x^2 > 1$.
Перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:
$x^2 - 1 > 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1) > 0$
Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ в каждом интервале.
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2-1)(2+1) = 1 \cdot 3 = 3 > 0$.
- При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0-1)(0+1) = -1 \cdot 1 = -1 < 0$.
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2-1)(-2+1) = -3 \cdot (-1) = 3 > 0$.
Так как нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, выбираем интервалы, где получился знак "+".
Таким образом, решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$

2)Исходное неравенство: $x^2 < 3$.
Перенесем 3 в левую часть:
$x^2 - 3 < 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$
Найдем корни уравнения $(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$. Корнями являются $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала. График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале, расположенном между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал, где $x$ находится между $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.
Ответ: $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$

3)Исходное неравенство: $-3x^2 \geq -12x$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:
$-3x^2 + 12x \geq 0$
Для удобства разделим обе части неравенства на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 4x \leq 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) \leq 0$
Найдем корни уравнения $x(x - 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
График функции $y = x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).
Следовательно, решение находится на отрезке от 0 до 4.
Ответ: $[0, 4]$

4)Исходное неравенство: $-2x^2 < -128$.
Разделим обе части неравенства на -2. При этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 > 64$
Перенесем 64 в левую часть:
$x^2 - 64 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 8)(x + 8) > 0$
Найдем корни уравнения $(x - 8)(x + 8) = 0$. Корнями являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
График функции $y = x^2 - 64$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) на интервалах вне корней.
Следовательно, решение неравенства — это объединение двух интервалов: $x < -8$ и $x > 8$.
Ответ: $(-\infty, -8) \cup (8, \infty)$

408. Решите неравенство:

1) $x(x + 5) - 2 < 4x$;

2) $11 - (x + 1)^2 \le x$;

3) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5$;

4) $5x(x + 4) - (2x - 3)(2x + 3) > 30$;

5) $(3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5) > 30$;

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} - \frac{3 - 4x}{6} + \frac{8x - 5}{8} \le \frac{19}{24}$.

1) $x(x + 5) - 2 < 4x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 + 5x - 2 < 4x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство:

$x^2 + 5x - 4x - 2 < 0$

$x^2 + x - 2 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$, чтобы найти корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 1$.

Неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-2 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$

2) $11 - (x + 1)^2 \le x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$11 - (x^2 + 2x + 1) \le x$

$11 - x^2 - 2x - 1 \le x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону (для удобства в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным):

$0 \le x^2 + 2x + x + 1 - 11$

$0 \le x^2 + 3x - 10$

Или, что то же самое: $x^2 + 3x - 10 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $-10$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 10$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение: $x \le -5$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$

3) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5$

Раскроем скобки:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 7x + x - 7) \le 5$

$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) \le 5$

$4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \le 5$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 10x + 8 \le 5$

Перенесем все в левую часть:

$3x^2 + 10x + 3 \le 0$

Решим уравнение $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $x_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 + 10x + 3$ имеет ветви вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение: $-3 \le x \le -1/3$.

Ответ: $x \in [-3; -1/3]$

4) $5x(x + 4) - (2x - 3)(2x + 3) > 30$

Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$5x^2 + 20x - ((2x)^2 - 3^2) > 30$

$5x^2 + 20x - (4x^2 - 9) > 30$

$5x^2 + 20x - 4x^2 + 9 > 30$

Приведем подобные и перенесем все в левую часть:

$x^2 + 20x + 9 - 30 > 0$

$x^2 + 20x - 21 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 20x - 21 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -21$, $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 20x - 21$ имеет ветви вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, решение: $x < -21$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -21) \cup (1; +\infty)$

5) $(3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5) > 30$

Раскроем скобки:

$(3x^2 + 6x - 7x - 14) - (x^2 + 5x - 4x - 20) > 30$

$(3x^2 - x - 14) - (x^2 + x - 20) > 30$

$3x^2 - x - 14 - x^2 - x + 20 > 30$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2x + 6 > 30$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$2x^2 - 2x - 24 > 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - x - 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, решение: $x < -3$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} - \frac{3 - 4x}{6} + \frac{8x - 5}{8} \le \frac{19}{24}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 24 (НОК(4, 6, 8, 24) = 24).

$24 \cdot \frac{2x^2 - 1}{4} - 24 \cdot \frac{3 - 4x}{6} + 24 \cdot \frac{8x - 5}{8} \le 24 \cdot \frac{19}{24}$

$6(2x^2 - 1) - 4(3 - 4x) + 3(8x - 5) \le 19$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 6 - 12 + 16x + 24x - 15 \le 19$

Приведем подобные слагаемые:

$12x^2 + 40x - 33 \le 19$

$12x^2 + 40x - 33 - 19 \le 0$

$12x^2 + 40x - 52 \le 0$

Разделим все слагаемые на 4 для упрощения:

$3x^2 + 10x - 13 \le 0$

Решим уравнение $3x^2 + 10x - 13 = 0$.

Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 100 + 156 = 256$.

Корни: $x_1 = \frac{-10 - \sqrt{256}}{6} = \frac{-10 - 16}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$, $x_2 = \frac{-10 + 16}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 + 10x - 13$ имеет ветви вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая их.

Следовательно, решение: $-13/3 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-13/3; 1]$

409. Решите неравенство:

1) $2(x^2 + 2) \ge x(x + 5);$

2) $x - (x + 4)(x + 5) > -5;$

3) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(x + 2) < 7 - 3x;$

4) $\frac{x-1}{4} - \frac{2x-3}{2} < \frac{x^2+3x}{8}.$

1) $2(x^2 + 2) \ge x(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2x^2 + 4 \ge x^2 + 5x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x^2 - 5x + 4 \ge 0$

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$, чтобы найти корни параболы $y = x^2 - 5x + 4$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

2) $x - (x + 4)(x + 5) > -5$

Раскроем скобки:

$x - (x^2 + 5x + 4x + 20) > -5$

$x - (x^2 + 9x + 20) > -5$

$x - x^2 - 9x - 20 > -5$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну часть:

$-x^2 - 8x - 20 + 5 > 0$

$-x^2 - 8x - 15 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 8x + 15 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней равна -8, произведение равно 15. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 8x + 15$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 8x + 15 < 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Таким образом, решение: $-5 < x < -3$.

Ответ: $x \in (-5; -3)$.

3) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(x + 2) < 7 - 3x$

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого слагаемого и раскроем скобки во втором:

$(36x^2 - 1) - (12x^2 + 24x - 5x - 10) < 7 - 3x$

$36x^2 - 1 - (12x^2 + 19x - 10) < 7 - 3x$

$36x^2 - 1 - 12x^2 - 19x + 10 < 7 - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$24x^2 - 19x + 9 < 7 - 3x$

Перенесем все члены в левую часть:

$24x^2 - 19x + 3x + 9 - 7 < 0$

$24x^2 - 16x + 2 < 0$

Разделим обе части неравенства на 2 для упрощения:

$12x^2 - 8x + 1 < 0$

Найдем корни уравнения $12x^2 - 8x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 - 48 = 16$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{8 \pm 4}{24}$

$x_1 = \frac{8 - 4}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{8 + 4}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Ветви параболы $y = 12x^2 - 8x + 1$ направлены вверх. Неравенство $12x^2 - 8x + 1 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, $\frac{1}{6} < x < \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{6}; \frac{1}{2})$.

4) $\frac{x - 1}{4} - \frac{2x - 3}{2} < \frac{x^2 + 3x}{8}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{x - 1}{4} - 8 \cdot \frac{2x - 3}{2} < 8 \cdot \frac{x^2 + 3x}{8}$

$2(x - 1) - 4(2x - 3) < x^2 + 3x$

Раскроем скобки:

$2x - 2 - 8x + 12 < x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-6x + 10 < x^2 + 3x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 < x^2 + 3x + 6x - 10$

$x^2 + 9x - 10 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней равна -9, произведение равно -10. Корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 9x - 10 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решение: $x < -10$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (1; +\infty)$.

410. При каких значениях $x$:

1) значения трёхчлена $-3x^2 + 6x + 1$ больше $-\frac{4}{3}$;

2) значения трёхчлена $-5x^2 + 11x + 2$ не больше $-\frac{2}{5}$?

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения трёхчлена $-3x^2 + 6x + 1$ больше $-\frac{4}{3}$, нужно решить неравенство:

$-3x^2 + 6x + 1 > -\frac{4}{3}$

Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:

$-3x^2 + 6x + 1 + \frac{4}{3} > 0$

Приведём подобные члены:

$-3x^2 + 6x + \frac{3}{3} + \frac{4}{3} > 0$

$-3x^2 + 6x + \frac{7}{3} > 0$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$-9x^2 + 18x + 7 > 0$

Для удобства решения умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$9x^2 - 18x - 7 < 0$

Далее найдём корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 18x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 324 + 252 = 576$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 9} = \frac{18 \pm 24}{18}$

$x_1 = \frac{18 - 24}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{18 + 24}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

Мы решаем неравенство $9x^2 - 18x - 7 < 0$. График функции $y = 9x^2 - 18x - 7$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 9, что больше 0). Следовательно, квадратичный трёхчлен принимает отрицательные значения на интервале между его корнями.

Таким образом, решение неравенства — это $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{7}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; \frac{7}{3})$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых значения трёхчлена $-5x^2 + 11x + 2$ не больше $-\frac{2}{5}$, нужно решить неравенство. Фраза "не больше" означает "меньше или равно" ($\leq$).

$-5x^2 + 11x + 2 \leq -\frac{2}{5}$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$-5x^2 + 11x + 2 + \frac{2}{5} \leq 0$

Приведём подобные члены:

$-5x^2 + 11x + \frac{10}{5} + \frac{2}{5} \leq 0$

$-5x^2 + 11x + \frac{12}{5} \leq 0$

Умножим обе части неравенства на 5:

$-25x^2 + 55x + 12 \leq 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$25x^2 - 55x - 12 \geq 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 - 55x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 3025 + 1200 = 4225$

Найдём корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 \pm \sqrt{4225}}{2 \cdot 25} = \frac{55 \pm 65}{50}$

$x_1 = \frac{55 - 65}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{55 + 65}{50} = \frac{120}{50} = \frac{12}{5}$

Мы решаем неравенство $25x^2 - 55x - 12 \geq 0$. График функции $y = 25x^2 - 55x - 12$ — это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 25, что больше 0). Следовательно, трёхчлен принимает неотрицательные значения (больше или равно нулю) при значениях $x$ не между корнями, то есть включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства — это $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [\frac{12}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}] \cup [\frac{12}{5}; +\infty)$.

411. При каких значениях x:

1) значения трёхчлена $x^2 - 2x - 11$ меньше $\frac{1}{4}$;

2) значения трёхчлена $-3x^2 + 8x + 6$ не меньше $-\frac{2}{3}$?

1) значения трёхчлена $x^2 - 2x - 11$ меньше $\frac{1}{4}$

Чтобы найти значения $x$, при которых значения трёхчлена $x^2 - 2x - 11$ меньше $\frac{1}{4}$, необходимо решить следующее неравенство:
$x^2 - 2x - 11 < \frac{1}{4}$

Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$x^2 - 2x - 11 - \frac{1}{4} < 0$

Приведём константы к общему знаменателю:
$x^2 - 2x - \frac{44}{4} - \frac{1}{4} < 0$
$x^2 - 2x - \frac{45}{4} < 0$

Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - \frac{45}{4} = 0$. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4:
$4x^2 - 8x - 45 = 0$

Найдём дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 64 + 16 \cdot 45 = 64 + 720 = 784$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 28}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 28}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

Мы решаем неравенство $x^2 - 2x - \frac{45}{4} < 0$. Графиком квадратичной функции $y = x^2 - 2x - \frac{45}{4}$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными между её корнями.
Таким образом, решение неравенства — это интервал $(-\frac{5}{2}; \frac{9}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; \frac{9}{2})$.

2) значения трёхчлена $-3x^2 + 8x + 6$ не меньше $-\frac{2}{3}$

Условие "не меньше" означает "больше или равно" ($\ge$). Составим и решим неравенство:
$-3x^2 + 8x + 6 \ge -\frac{2}{3}$

Перенесём все слагаемые в левую часть:
$-3x^2 + 8x + 6 + \frac{2}{3} \ge 0$

Приведём константы к общему знаменателю:
$-3x^2 + 8x + \frac{18}{3} + \frac{2}{3} \ge 0$
$-3x^2 + 8x + \frac{20}{3} \ge 0$

Чтобы упростить неравенство, умножим обе его части на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$9x^2 - 24x - 20 \le 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 24x - 20 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 576 + 720 = 1296$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 36}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 36}{2 \cdot 9} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

Мы решаем неравенство $9x^2 - 24x - 20 \le 0$. Графиком функции $y = 9x^2 - 24x - 20$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции будут неположительными (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; \frac{10}{3}]$.

412. При каких значениях аргумента значения функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9$ больше соответствующих значений функции $y = 2x - 1$?

Чтобы найти значения аргумента x, при которых значения функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9$ больше соответствующих значений функции $y = 2x - 1$, необходимо решить следующее неравенство:

$-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9 > 2x - 1$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дробей. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится.

$2 \cdot (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 9) > 2 \cdot (2x - 1)$

$-x^2 + 3x + 18 > 4x - 2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 3x - 4x + 18 + 2 > 0$

$-x^2 - x + 20 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + x - 20 < 0$

Теперь решим это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы решаем неравенство $x^2 + x - 20 < 0$. Графиком функции $f(x) = x^2 + x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Парабола находится ниже оси Ox (то есть принимает отрицательные значения) между точками ее пересечения с этой осью, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это все значения x, которые находятся в интервале между -5 и 4.

Ответ: при $x \in (-5; 4)$.