Номер 408, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

408. Решите неравенство:

1) $x(x + 5) - 2 < 4x$;

2) $11 - (x + 1)^2 \le x$;

3) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5$;

4) $5x(x + 4) - (2x - 3)(2x + 3) > 30$;

5) $(3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5) > 30$;

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} - \frac{3 - 4x}{6} + \frac{8x - 5}{8} \le \frac{19}{24}$.

1) $x(x + 5) - 2 < 4x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 + 5x - 2 < 4x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство:

$x^2 + 5x - 4x - 2 < 0$

$x^2 + x - 2 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$, чтобы найти корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 1$.

Неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-2 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-2; 1)$

2) $11 - (x + 1)^2 \le x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$11 - (x^2 + 2x + 1) \le x$

$11 - x^2 - 2x - 1 \le x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону (для удобства в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным):

$0 \le x^2 + 2x + x + 1 - 11$

$0 \le x^2 + 3x - 10$

Или, что то же самое: $x^2 + 3x - 10 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, произведение равно $-10$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 + 3x - 10$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решение: $x \le -5$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [2; +\infty)$

3) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5$

Раскроем скобки:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 7x + x - 7) \le 5$

$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) \le 5$

$4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \le 5$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 10x + 8 \le 5$

Перенесем все в левую часть:

$3x^2 + 10x + 3 \le 0$

Решим уравнение $3x^2 + 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $x_1 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 8}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$.

Парабола $y = 3x^2 + 10x + 3$ имеет ветви вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение: $-3 \le x \le -1/3$.

Ответ: $x \in [-3; -1/3]$

4) $5x(x + 4) - (2x - 3)(2x + 3) > 30$

Раскроем скобки. Второе произведение является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$5x^2 + 20x - ((2x)^2 - 3^2) > 30$

$5x^2 + 20x - (4x^2 - 9) > 30$

$5x^2 + 20x - 4x^2 + 9 > 30$

Приведем подобные и перенесем все в левую часть:

$x^2 + 20x + 9 - 30 > 0$

$x^2 + 20x - 21 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 20x - 21 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -21$, $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 20x - 21$ имеет ветви вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, решение: $x < -21$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -21) \cup (1; +\infty)$

5) $(3x - 7)(x + 2) - (x - 4)(x + 5) > 30$

Раскроем скобки:

$(3x^2 + 6x - 7x - 14) - (x^2 + 5x - 4x - 20) > 30$

$(3x^2 - x - 14) - (x^2 + x - 20) > 30$

$3x^2 - x - 14 - x^2 - x + 20 > 30$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2x + 6 > 30$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$2x^2 - 2x - 24 > 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - x - 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, решение: $x < -3$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$

6) $\frac{2x^2 - 1}{4} - \frac{3 - 4x}{6} + \frac{8x - 5}{8} \le \frac{19}{24}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 24 (НОК(4, 6, 8, 24) = 24).

$24 \cdot \frac{2x^2 - 1}{4} - 24 \cdot \frac{3 - 4x}{6} + 24 \cdot \frac{8x - 5}{8} \le 24 \cdot \frac{19}{24}$

$6(2x^2 - 1) - 4(3 - 4x) + 3(8x - 5) \le 19$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 6 - 12 + 16x + 24x - 15 \le 19$

Приведем подобные слагаемые:

$12x^2 + 40x - 33 \le 19$

$12x^2 + 40x - 33 - 19 \le 0$

$12x^2 + 40x - 52 \le 0$

Разделим все слагаемые на 4 для упрощения:

$3x^2 + 10x - 13 \le 0$

Решим уравнение $3x^2 + 10x - 13 = 0$.

Дискриминант $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 100 + 156 = 256$.

Корни: $x_1 = \frac{-10 - \sqrt{256}}{6} = \frac{-10 - 16}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$, $x_2 = \frac{-10 + 16}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y = 3x^2 + 10x - 13$ имеет ветви вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая их.

Следовательно, решение: $-13/3 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-13/3; 1]$