Номер 414, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

414. Найдите целые решения неравенства:

1) $x^2 + 5x \le 0$;

2) $x^2 - 10 < 0$;

3) $6x^2 + x - 2 \le 0$;

4) $-\frac{1}{4}x^2 + x + 3 > 0$.

1) Решим неравенство $x^2 + 5x \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Неравенство $x^2 + 5x \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-5; 0]$.

Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0.

2) Решим неравенство $x^2 - 10 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 10 = 0$.

$x^2 = 10$, откуда $x_1 = -\sqrt{10}$ и $x_2 = \sqrt{10}$.

Парабола $y = x^2 - 10$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$.

Чтобы найти целые решения, оценим значение $\sqrt{10}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$. Приблизительно $\sqrt{10} \approx 3.16$.

Таким образом, мы ищем целые числа в интервале $(-3.16; 3.16)$.

Целые решения: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3) Решим неравенство $6x^2 + x - 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ветви параболы $y = 6x^2 + x - 2$ направлены вверх ($a=6 > 0$), значит, неравенство выполняется на отрезке между корнями.

Решение неравенства: $x \in [-\frac{2}{3}; \frac{1}{2}]$.

Единственное целое число, которое принадлежит этому отрезку, — это 0.

Ответ: 0.

4) Решим неравенство $-\frac{1}{4}x^2 + x + 3 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -4. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4x - 12 < 0$.

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 12$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-2; 6)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.