Номер 417, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

417. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $1,5x^2 - 2x - 2 < 0;$

2) $-2x^2 - 15x - 25 \geq 0.$

1) $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $1,5x^2 - 2x - 2 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичного коэффициента, умножим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 1,5x^2 - 2x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ ($1,5$) положителен. Неравенство $1,5x^2 - 2x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\frac{2}{3}; 2)$.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 0, 1. Наибольшее из них - 1.

Ответ: 1

2) $-2x^2 - 15x - 25 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$2x^2 + 15x + 25 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 15x + 25 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 - 5}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 + 5}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 15x + 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 15x + 25 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [-5; -2,5]$.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -5, -4, -3. Наибольшее из них - -3.

Ответ: -3