Номер 419, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

419. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$;

2) $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$;

4) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x - 2x^2}}$.

1) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$.

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1 для удобства: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Поскольку в исходном неравенстве $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$ коэффициент при $x^2$ отрицательный (a = -1), ветви параболы $y = -x^2 + 3x + 4$ направлены вниз. Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-1; 4]$.

Ответ: $D(y) = [-1; 4]$.

2) $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^2 + 5x - 3 \ge 0$.

Решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Коэффициент при $x^2$ положительный (a = 2), поэтому ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 3$ направлены вверх. Значит, трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -3]$ и $[0,5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [0,5; +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$

Область определения этой функции задается двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Объединив эти условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x^2 + 4x - 12 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ $x_1 \cdot x_2 = -12$ Отсюда корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 12$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 + 4x - 12$ положительно на промежутках вне корней.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

4) $y = \frac{x + 2}{\sqrt{6x - 2x^2}}$

Область определения функции определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $6x - 2x^2 > 0$.

Решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения $6x - 2x^2 = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $2x(3 - x) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = 6x - 2x^2$ направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-2). Это означает, что выражение принимает положительные значения на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0; 3)$.

Ответ: $D(y) = (0; 3)$.