Номер 421, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

421. Равносильны ли неравенства:

1) $x^2 - 2x - 15 > 0$ и $x^2 - 2x - 15 \geq 0;$

2) $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$ и $\frac{1}{x^2 - x - 20} \leq 0;$

3) $x^2 - 6x + 10 > 0$ и $-x^2 + x - 1 \leq 0;$

4) $x^2 + 2x + 3 < 0$ и $-2x^2 - 4 > 0?$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Проверим каждую пару неравенств.

1) $x^2 - 2x - 15 > 0$ и $x^2 - 2x - 15 \ge 0$

Найдем решение первого неравенства. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 15$ находятся из уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх, и неравенство $x^2 - 2x - 15 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Множество решений: $x \in (-\infty; -3) \cup (5; \infty)$.

Для второго неравенства $x^2 - 2x - 15 \ge 0$ используется та же парабола. Решение включает в себя концы интервалов, так как неравенство нестрогое. Множество решений: $x \in (-\infty; -3] \cup [5; \infty]$.

Множества решений не совпадают, поскольку второе множество содержит числа $-3$ и $5$, а первое — нет. Следовательно, неравенства не равносильны.

Ответ: нет.

2) $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$ и $\frac{1}{x^2 - x - 20} \le 0$

Рассмотрим первое неравенство $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$. Дробь отрицательна, когда ее знаменатель отрицателен, так как числитель $1$ — положительное число. Решаем неравенство $x^2 - x - 20 < 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому трехчлен отрицателен между корнями. Множество решений: $x \in (-4; 5)$.

Рассмотрим второе неравенство $\frac{1}{x^2 - x - 20} \le 0$. Дробь не может быть равна нулю, поскольку ее числитель не равен нулю. Поэтому это неравенство равносильно строгому неравенству $\frac{1}{x^2 - x - 20} < 0$, которое мы уже решили.

Множества решений обоих неравенств совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

3) $x^2 - 6x + 10 > 0$ и $-x^2 + x - 1 \le 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 - 6x + 10 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, парабола находится полностью выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно. Множество решений: $x \in (-\infty; \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство $-x^2 + x - 1 \le 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=-1 < 0$, парабола находится полностью ниже оси абсцисс. Это означает, что выражение $-x^2 + x - 1$ всегда отрицательно. Следовательно, неравенство $-x^2 + x - 1 \le 0$ выполняется для всех действительных чисел. Множество решений: $x \in (-\infty; \infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.

4) $x^2 + 2x + 3 < 0$ и $-2x^2 - 4 > 0$

Рассмотрим первое неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. Таким образом, неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$ не имеет решений. Множество решений — пустое множество, $\emptyset$.

Рассмотрим второе неравенство $-2x^2 - 4 > 0$. Преобразуем его: $-2x^2 > 4$. Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $x^2 < -2$. Квадрат любого действительного числа не может быть меньше отрицательного числа. Это неравенство также не имеет решений. Множество решений — пустое множество, $\emptyset$.

Множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми). Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ: да.