Номер 428, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

428. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 - 4x}}$

2) $y = \frac{x + 5}{\sqrt{35 + 2x - x^2}} + \frac{x - 1}{|x| - 6}$

1) Область определения функции $y = \sqrt{20 + 4x - 3x^2} + \frac{3}{\sqrt{8 - 4x}}$ находится из системы неравенств. Для того чтобы функция была определена, должны выполняться два условия:

1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $20 + 4x - 3x^2 \ge 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень должен быть определен и знаменатель не может быть равен нулю): $8 - 4x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 20 + 4x - 3x^2 \ge 0 \\ 8 - 4x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $20 + 4x - 3x^2 \ge 0$. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 4x - 20 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x - 20 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Графиком функции $y = 3x^2 - 4x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x - 20 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-2, \frac{10}{3}]$.

Теперь решим второе неравенство: $8 - 4x > 0$.

$8 > 4x$

$2 > x$, или $x < 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2)$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо найти пересечение решений обоих неравенств: $[-2, \frac{10}{3}] \cap (-\infty, 2)$.

Пересечением этих двух промежутков является интервал $[-2, 2)$.

Ответ: $x \in [-2, 2)$.

2) Область определения функции $y = \frac{x+5}{\sqrt{35+2x-x^2}} + \frac{x-1}{|x|-6}$ находится из системы условий:

1. Выражение под корнем в знаменателе первого слагаемого должно быть строго положительным: $35 + 2x - x^2 > 0$.

2. Знаменатель второго слагаемого не должен быть равен нулю: $|x| - 6 \neq 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} 35 + 2x - x^2 > 0 \\ |x| - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $35 + 2x - x^2 > 0$. Умножим его на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 2x - 35 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -35$

Корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 35$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 35 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-5, 7)$.

Теперь решим второе условие: $|x| - 6 \neq 0$.

$|x| \neq 6$.

Это означает, что $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Для нахождения области определения исходной функции необходимо объединить полученные условия: найти все значения $x$ из интервала $(-5, 7)$, которые не равны 6 и -6.

Число -6 не принадлежит интервалу $(-5, 7)$, поэтому это ограничение не влияет на итоговый результат.

Число 6 принадлежит интервалу $(-5, 7)$, поэтому его необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции представляет собой интервал от -5 до 7 с "выколотой" точкой 6. Это можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (-5, 6) \cup (6, 7)$.