Номер 432, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

432. Решите неравенство:

1) $|x| \cdot (x^2 - 5x + 6) > 0;$

2) $\sqrt{x(x^2 + 6x - 40)} > 0;$

3) $(x + 3)^2(x^2 - x - 6) > 0;$

4) $\frac{3x^2 - 8x - 3}{(x - 1)^2} \le 0.$

1) $|x| \cdot (x^2 - 5x + 6) > 0$

Произведение двух множителей положительно. Первый множитель $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x| > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $|x| > 0$ следует, что $x \neq 0$.

Решим второе неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$. Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне корней, то есть при $x < 2$ или $x > 3$. Решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Теперь объединим это решение с условием $x \neq 0$. Точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-\infty, 2)$, поэтому ее необходимо исключить. Получаем решение:

$x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (3, \infty)$.

2) $\sqrt{x}(x^2 + 6x - 40) > 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Поскольку неравенство строгое, произведение не может быть равно нулю. Это означает, что $\sqrt{x} \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. Объединяя с ОДЗ, получаем $x > 0$.

При $x > 0$ множитель $\sqrt{x}$ всегда положителен. Значит, чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положителен:

$x^2 + 6x - 40 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 40 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 14}{2}$.

$x_1 = \frac{-6 - 14}{2} = -10$, $x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4$.

Парабола $y = x^2 + 6x - 40$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 6x - 40 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -10) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 0$.

$\left((-\infty, -10) \cup (4, \infty)\right) \cap (0, \infty) = (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

3) $(x + 3)^2(x^2 - x - 6) > 0$

Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго больше нуля, необходимо, чтобы $(x + 3)^2 \neq 0$ и второй множитель был положителен.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (x + 3)^2 > 0 \\ x^2 - x - 6 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Решим второе неравенство $x^2 - x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Теперь учтем условие $x \neq -3$. Точка $x = -3$ находится в интервале $(-\infty, -2)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (3, \infty)$.

4) $\frac{3x^2 - 8x - 3}{(x - 1)^2} \le 0$

Определим область допустимых значений. Знаменатель не должен быть равен нулю: $(x - 1)^2 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

При всех $x \neq 1$ знаменатель $(x - 1)^2$ строго положителен. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x^2 - 8x - 3 \le 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Решим неравенство $3x^2 - 8x - 3 \le 0$. Сначала найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 3 = 0$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

$x_{1,2} = \frac{8 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Парабола $y = 3x^2 - 8x - 3$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая сами корни): $x \in [-\frac{1}{3}, 3]$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 1$. Точка $x=1$ лежит внутри отрезка $[-\frac{1}{3}, 3]$, поэтому ее надо исключить ("выколоть").

Получаем решение: $x \in [-\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 3]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, 1) \cup (1, 3]$.