Номер 427, страница 119 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

427. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x+1}$;

2) $y = \frac{x-3}{\sqrt{18 + 3x - x^2}} + \frac{8}{x-5}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{9}{x^2 - 81}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 7x - 3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x+1}}$.

1)

Область определения функции $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}} + \sqrt{x + 1}$ задается системой из двух условий:

1. Подрадикальное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень находится в знаменателе, деление на ноль недопустимо): $x^2 - 4x - 12 > 0$.
2. Подрадикальное выражение во втором слагаемом должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$.

Для нахождения области определения решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4x - 12 > 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 12 > 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, квадратный трехчлен положителен вне интервала между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (6; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x + 1 \ge 0$.
$x \ge -1$. В виде промежутка: $x \in [-1; +\infty)$.

Найдем пересечение полученных решений: $( (-\infty; -2) \cup (6; +\infty) ) \cap [-1; +\infty)$.
Промежуток $[-1; +\infty)$ не имеет общих точек с $(-\infty; -2)$.
Пересечение $[-1; +\infty)$ и $(6; +\infty)$ есть промежуток $(6; +\infty)$.
Следовательно, область определения функции — это интервал $(6; +\infty)$.

Ответ: $(6; +\infty)$.

2)

Область определения функции $y = \frac{x - 3}{\sqrt{18 + 3x - x^2}} + \frac{8}{x - 5}$ задается системой условий:

1. Подрадикальное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $18 + 3x - x^2 > 0$.
2. Знаменатель второй дроби не должен равняться нулю: $x - 5 \ne 0$.

Решим систему: $ \begin{cases} 18 + 3x - x^2 > 0 \\ x - 5 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $18 + 3x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 3x - 18 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Ветви параболы $y=x^2 - 3x - 18$ направлены вверх, поэтому квадратный трехчлен отрицателен между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-3; 6)$.

Из второго условия $x - 5 \ne 0$ получаем $x \ne 5$.

Теперь объединим оба условия: $x$ должен принадлежать интервалу $(-3; 6)$ и при этом не равняться 5. Для этого нужно исключить точку 5 из данного интервала.
Получаем объединение двух интервалов: $(-3; 5) \cup (5; 6)$.

Ответ: $(-3; 5) \cup (5; 6)$.

3)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x - 14} - \frac{9}{x^2 - 81}$ задается системой условий:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 5x - 14 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 81 \ne 0$.

Решим систему: $ \begin{cases} x^2 - 5x - 14 \ge 0 \\ x^2 - 81 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 14 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x - 14$ направлены вверх, поэтому квадратный трехчлен неотрицателен на лучах вне корней, включая сами корни.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$.

Из второго условия $x^2 - 81 \ne 0$ получаем $x^2 \ne 81$, то есть $x \ne 9$ и $x \ne -9$.

Теперь исключим значения $x = -9$ и $x = 9$ из найденного множества $(-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$.
Значение $x = -9$ входит в промежуток $(-\infty; -2]$, поэтому его нужно исключить.
Значение $x = 9$ входит в промежуток $[7; +\infty)$, поэтому его также исключаем.
В результате получаем: $(-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; -2] \cup [7; 9) \cup (9; +\infty)$.

4)

Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 7x - 3x^2}} + \frac{2}{\sqrt{x + 1}}$ задается системой условий:

1. Подрадикальное выражение в знаменателе первой дроби должно быть строго положительным: $6 - 7x - 3x^2 > 0$.
2. Подрадикальное выражение в знаменателе второй дроби также должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$.

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6 - 7x - 3x^2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $6 - 7x - 3x^2 > 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $3x^2 + 7x - 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 7x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-7 - 11}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 7x - 6$ направлены вверх, поэтому квадратный трехчлен отрицателен между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-3; \frac{2}{3})$.

Решим второе неравенство: $x + 1 > 0$.
$x > -1$. В виде промежутка: $x \in (-1; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-3; \frac{2}{3}) \cap (-1; +\infty)$.
Общим для обоих промежутков является интервал $(-1; \frac{2}{3})$.

Ответ: $(-1; \frac{2}{3})$.