Номер 400, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 77

400. На рисунке 77 изображён график функции $y = x^2 + 4x - 5$. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 + 4x - 5 < 0$;

2) $x^2 + 4x - 5 \le 0$;

3) $x^2 + 4x - 5 > 0$;

4) $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Для решения данных неравенств воспользуемся графиком функции $y = x^2 + 4x - 5$, который представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Решение каждого неравенства сводится к нахождению таких значений $x$, при которых ордината $y$ удовлетворяет заданному условию.

В первую очередь определим нули функции, то есть точки, в которых график пересекает ось абсцисс (ось Ox). Из рисунка 77 видно, что это точки $x = -5$ и $x = 1$. Эти точки разделяют ось Ox на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$ и $(1; +\infty)$.

1) $x^2 + 4x - 5 < 0$;

Неравенство $y < 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен ниже оси Ox. Согласно графику, это происходит на интервале между корнями. Так как неравенство строгое, сами точки $x = -5$ и $x = 1$ в решение не входят.
Ответ: $x \in (-5; 1)$.

2) $x^2 + 4x - 5 \le 0$;

Неравенство $y \le 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен ниже или на оси Ox. Это соответствует промежутку между корнями, включая сами корни. Так как неравенство нестрогое, точки $x = -5$ и $x = 1$ включаются в решение.
Ответ: $x \in [-5; 1]$.

3) $x^2 + 4x - 5 > 0$;

Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен выше оси Ox. Согласно графику, это происходит левее корня $x = -5$ и правее корня $x = 1$. Так как неравенство строгое, сами точки $x = -5$ и $x = 1$ в решение не входят.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

4) $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.

Неравенство $y \ge 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции расположен выше или на оси Ox. Это соответствует промежуткам левее корня $x = -5$ и правее корня $x = 1$, включая сами корни. Так как неравенство нестрогое, точки $x = -5$ и $x = 1$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.