Номер 445, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

445. Постройте график уравнения:

1) $4x + y = 3;$

2) $2x - 3y = 6;$

3) $xy = -8;$

4) $(x - 2)^2 + y^2 = 0;$

5) $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9;$

6) $x^2 + y^2 = 4;$

7) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10 = 0;$

8) $(x - 3)(y - x) = 0;$

9) $\frac{y - x}{y^2 - 1} = 0.$

1) $4x + y = 3$

Это линейное уравнение, его график — прямая линия. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:

$y = -4x + 3$

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
Если $x = 0$, то $y = -4 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
Если $x = 1$, то $y = -4 \cdot 1 + 3 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.
График — это прямая, проходящая через эти две точки.

Ответ: Прямая линия $y = -4x + 3$, проходящая, например, через точки $(0; 3)$ и $(1; -1)$.

2) $2x - 3y = 6$

Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = 6 - 2x$

$3y = 2x - 6$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Найдём две точки для построения графика.
Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
Если $y = 0$, то $0 = \frac{2}{3}x - 2$, откуда $\frac{2}{3}x = 2$, $x=3$. Получаем точку $(3; 0)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(3; 0)$.

Ответ: Прямая линия $y = \frac{2}{3}x - 2$, проходящая, например, через точки $(0; -2)$ и $(3; 0)$.

3) $xy = -8$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -\frac{8}{x}$

Это уравнение обратной пропорциональности, его график — гипербола. Так как коэффициент $-8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Ответ: Гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

4) $(x - 2)^2 + y^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений ($(x-2)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из выражений равно нулю.

$\begin{cases} (x - 2)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$

Уравнению удовлетворяет только одна точка с координатами $(2; 0)$.

Ответ: Точка $(2; 0)$.

5) $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В данном случае, $a = 2$, $b = -1$, и $R^2 = 9$, следовательно, $R = 3$.
Графиком является окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $3$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $3$.

6) $x^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 4$.

Следовательно, $R = 2$.
Графиком является окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом $2$.

7) $x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 10 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 10 + 10 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю.

$\begin{cases} (x + 1)^2 = 0 \\ (y - 3)^2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$

Уравнению удовлетворяет только одна точка с координатами $(-1; 3)$.

Ответ: Точка $(-1; 3)$.

8) $(x - 3)(y - x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение распадается на два:

$x - 3 = 0$ или $y - x = 0$

То есть, $x = 3$ или $y = x$.
Графиком первого уравнения $x = 3$ является вертикальная прямая, проходящая через точку $(3; 0)$.
Графиком второго уравнения $y = x$ является прямая, проходящая через начало координат под углом 45° к оси Ox (биссектриса I и III координатных углов).
График исходного уравнения — это объединение этих двух прямых.

Ответ: Две пересекающиеся прямые $x = 3$ и $y = x$.

9) $\frac{y - x}{y^2 - 1} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} y - x = 0 \\ y^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = x$. Это прямая.
Из второго условия получаем $y^2 \neq 1$, то есть $y \neq 1$ и $y \neq -1$.
Так как $y = x$, то из этого следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Таким образом, из прямой $y = x$ нужно исключить точки, у которых ординаты (и абсциссы) равны $1$ и $-1$. Это точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
Графиком является прямая $y=x$ с двумя "выколотыми" точками.

Ответ: Прямая $y = x$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.