Номер 447, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

447. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2. \end{cases} $$ Для того чтобы решить систему графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Решением системы будет точка пересечения этих прямых.

Сначала приведем оба уравнения к виду функции $y = kx + b$.

Первое уравнение: $x - 2y = 1$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 1 - x$
$2y = x - 1$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ (или $y = 0.5x - 0.5$).

Для построения этой прямой найдем координаты двух точек, подставляя значения $x$:
- При $x = 1$, $y = 0.5 \cdot 1 - 0.5 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = 0.5 \cdot 3 - 0.5 = 1.5 - 0.5 = 1$. Получаем точку $(3, 1)$.

Второе уравнение: $y - x = -2$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = x - 2$.

Для построения этой прямой также найдем координаты двух точек:
- При $x = 0$, $y = 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
- При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(2, 0)$.

Теперь построим графики этих двух прямых на одной координатной плоскости. Первая прямая $y = 0.5x - 0.5$ проходит через точки $(1, 0)$ и $(3, 1)$. Вторая прямая $y = x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

Точка пересечения графиков является решением системы. Построив графики, мы находим, что прямые пересекаются в точке с координатами $(3, 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=3$ и $y=1$ в исходную систему: $$ \begin{cases} 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1, \\ 1 - 3 = -2. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 1 = 1, \\ -2 = -2. \end{cases} $$ Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(3, 1)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5. \end{cases} $$

Решим эту систему графическим методом. Для этого построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $x + y = -5$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 5$.

Найдем две точки для построения этой прямой:
- При $x = 0$, $y = -0 - 5 = -5$. Получаем точку $(0, -5)$.
- При $x = -5$, $y = -(-5) - 5 = 5 - 5 = 0$. Получаем точку $(-5, 0)$.

Второе уравнение: $4x - y = -5$.
Выразим $y$ через $x$:
$-y = -4x - 5$
$y = 4x + 5$.

Найдем две точки для построения этой прямой:
- При $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
- При $x = -2$, $y = 4(-2) + 5 = -8 + 5 = -3$. Получаем точку $(-2, -3)$.

Построим графики функций $y = -x - 5$ и $y = 4x + 5$ на одной координатной плоскости. Первая прямая проходит через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$. Вторая прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(-2, -3)$.

Координаты точки пересечения этих прямых будут решением системы. Из построения видно, что прямые пересекаются в точке $(-2, -3)$.

Проверим найденное решение, подставив $x=-2$ и $y=-3$ в исходные уравнения: $$ \begin{cases} (-2) + (-3) = -5, \\ 4(-2) - (-3) = -8 + 3 = -5. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -5 = -5, \\ -5 = -5. \end{cases} $$ Оба равенства верны. Решение найдено правильно.

Ответ: $(-2, -3)$.