Номер 2, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Поясните суть графического метода решения систем уравнений.

Графический метод решения систем уравнений — это способ нахождения решений путем построения графиков для каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Решением системы уравнений называется пара (или набор) чисел, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Геометрически это означает, что точка с координатами, являющимися решением, должна лежать на каждом из графиков. Таким образом, суть метода сводится к нахождению координат точек пересечения этих графиков.

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом:

1. Выразить в каждом уравнении одну переменную через другую, если это необходимо. Чаще всего выражают переменную $y$ через $x$, приводя уравнение к виду $y = f(x)$.
2. Построить график каждого уравнения в одной и той же прямоугольной системе координат.
3. Найти на чертеже точки пересечения построенных графиков.
4. Определить координаты каждой точки пересечения. Эти координаты и будут решениями системы.
5. Записать ответ.

В зависимости от взаимного расположения графиков возможны три случая:

• Графики пересекаются в одной точке. В этом случае система имеет единственное решение. Для системы двух линейных уравнений это означает, что угловые коэффициенты прямых различны.
• Графики параллельны и не имеют общих точек. В этом случае система не имеет решений. Для линейных уравнений это означает, что их угловые коэффициенты равны, а сдвиги по оси $y$ — различны.
• Графики полностью совпадают. В этом случае система имеет бесконечное множество решений — любая точка, лежащая на этом графике, является решением.

Пример:

Решим графически систему уравнений: $ \begin{cases} y - x = 2 \\ y + x = 4 \end{cases} $

1. Приведем оба уравнения к виду $y = f(x)$:
$y = x + 2$
$y = -x + 4$

2. Построим графики. Оба графика — прямые линии.

• Для построения прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек, например, $(0; 2)$ и $(2; 4)$.
• Для построения прямой $y = -x + 4$ также возьмем две точки, например, $(0; 4)$ и $(4; 0)$.

3. Построив обе прямые в одной системе координат, находим их точку пересечения. Визуально определяем, что ее координаты — $(1; 3)$.

4. Для уверенности выполним проверку, подставив пару $(1; 3)$ в исходные уравнения:
$3 - 1 = 2 \implies 2 = 2$ (верно)
$3 + 1 = 4 \implies 4 = 4$ (верно)

Следовательно, пара чисел $(1; 3)$ является решением системы.

Несмотря на наглядность, у графического метода есть существенный недостаток — неточность. Если точка пересечения имеет нецелые (дробные или иррациональные) координаты, определить их точное значение по графику, построенному от руки, практически невозможно. Поэтому метод чаще используется для иллюстрации или для случаев, когда решение является целочисленным. Для точного нахождения решений применяют аналитические методы (подстановки или сложения).

Ответ: Суть графического метода решения систем уравнений заключается в построении в одной системе координат графиков для каждого уравнения и нахождении координат их точек пересечения. Координаты этих точек являются решениями системы.