Номер 453, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

453. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ x - y = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y = x^2 - 3, \\ y = 6 - x^2; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} xy = -6, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 - 4x + y = -1, \\ xy = 4. \end{cases} $

1)

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 3$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{3}$.
Второе уравнение $y = x$ задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через центр окружности.
Прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее в двух точках.

Ответ: 2 решения.

2)

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 2$.
Второе уравнение $y = 2 - x^2$ (или $y = -x^2 + 2$) задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$.
Вершина параболы $(0, 2)$ лежит на окружности, так как $0^2 + 2^2 = 4$. Это одна точка пересечения. Поскольку ветви параболы направлены вниз, они входят внутрь окружности и пересекают ее еще в двух симметричных относительно оси OY точках.
Таким образом, графики имеют три общие точки.

Ответ: 3 решения.

3)

Первое уравнение $y = \sqrt{x}$ задает верхнюю ветвь параболы $x = y^2$, расположенную в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0,0)$.
Второе уравнение $x - y = 2$ можно переписать как $y = x - 2$. Это прямая, проходящая через точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$.
При построении графиков видно, что прямая и ветвь параболы пересекаются в одной точке в первой четверти.

Ответ: 1 решение.

4)

Первое уравнение $y = x^2 - 3$ задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -3)$.
Второе уравнение $y = 6 - x^2$ (или $y = -x^2 + 6$) задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 6)$.
Параболы симметричны относительно оси OY. Одна открывается вверх из точки $(0, -3)$, другая — вниз из точки $(0, 6)$. Они пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси OY.

Ответ: 2 решения.

5)

Первое уравнение $xy = -6$ можно переписать как $y = -6/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.
Второе уравнение $2x - y = 3$ можно переписать как $y = 2x - 3$. Это прямая с угловым коэффициентом 2 и пересечением с осью OY в точке $(0, -3)$.
Ветвь гиперболы во второй четверти (где $x < 0$) целиком лежит выше оси OX (так как $y > 0$). Прямая $y = 2x - 3$ при $x < 0$ целиком лежит ниже оси OX (так как $y < -3$). Следовательно, в этой области пересечений нет. В четвертой четверти и прямая, и гипербола лежат ниже оси OX. Однако, подставив $y$ из второго уравнения в первое, получим $x(2x-3) = -6$, что приводит к квадратному уравнению $2x^2 - 3x + 6 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, действительных корней нет, а значит, графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

6)

Первое уравнение $x^2 - 4x + y = -1$ можно переписать как $y = -x^2 + 4x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(2, 3)$.
Второе уравнение $xy = 4$ можно переписать как $y = 4/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.
Парабола с вершиной в точке $(2, 3)$ (первая четверть) и ветвями вниз пересечет ветвь гиперболы, находящуюся в первой четверти, в двух точках. Также одна из ветвей параболы, уходящая в отрицательные значения по обеим осям, пересечет ветвь гиперболы в третьей четверти в одной точке.
Итого получается три точки пересечения.

Ответ: 3 решения.