Страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

453. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ x - y = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y = x^2 - 3, \\ y = 6 - x^2; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} xy = -6, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 - 4x + y = -1, \\ xy = 4. \end{cases} $

1)

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 3$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{3}$.
Второе уравнение $y = x$ задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через центр окружности.
Прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее в двух точках.

Ответ: 2 решения.

2)

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = 2$.
Второе уравнение $y = 2 - x^2$ (или $y = -x^2 + 2$) задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 2)$.
Вершина параболы $(0, 2)$ лежит на окружности, так как $0^2 + 2^2 = 4$. Это одна точка пересечения. Поскольку ветви параболы направлены вниз, они входят внутрь окружности и пересекают ее еще в двух симметричных относительно оси OY точках.
Таким образом, графики имеют три общие точки.

Ответ: 3 решения.

3)

Первое уравнение $y = \sqrt{x}$ задает верхнюю ветвь параболы $x = y^2$, расположенную в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0,0)$.
Второе уравнение $x - y = 2$ можно переписать как $y = x - 2$. Это прямая, проходящая через точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$.
При построении графиков видно, что прямая и ветвь параболы пересекаются в одной точке в первой четверти.

Ответ: 1 решение.

4)

Первое уравнение $y = x^2 - 3$ задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -3)$.
Второе уравнение $y = 6 - x^2$ (или $y = -x^2 + 6$) задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 6)$.
Параболы симметричны относительно оси OY. Одна открывается вверх из точки $(0, -3)$, другая — вниз из точки $(0, 6)$. Они пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси OY.

Ответ: 2 решения.

5)

Первое уравнение $xy = -6$ можно переписать как $y = -6/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.
Второе уравнение $2x - y = 3$ можно переписать как $y = 2x - 3$. Это прямая с угловым коэффициентом 2 и пересечением с осью OY в точке $(0, -3)$.
Ветвь гиперболы во второй четверти (где $x < 0$) целиком лежит выше оси OX (так как $y > 0$). Прямая $y = 2x - 3$ при $x < 0$ целиком лежит ниже оси OX (так как $y < -3$). Следовательно, в этой области пересечений нет. В четвертой четверти и прямая, и гипербола лежат ниже оси OX. Однако, подставив $y$ из второго уравнения в первое, получим $x(2x-3) = -6$, что приводит к квадратному уравнению $2x^2 - 3x + 6 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, действительных корней нет, а значит, графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.

6)

Первое уравнение $x^2 - 4x + y = -1$ можно переписать как $y = -x^2 + 4x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(2, 3)$.
Второе уравнение $xy = 4$ можно переписать как $y = 4/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.
Парабола с вершиной в точке $(2, 3)$ (первая четверть) и ветвями вниз пересечет ветвь гиперболы, находящуюся в первой четверти, в двух точках. Также одна из ветвей параболы, уходящая в отрицательные значения по обеим осям, пересечет ветвь гиперболы в третьей четверти в одной точке.
Итого получается три точки пересечения.

Ответ: 3 решения.

454. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = (x - 5)^2, \\ xy = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - x = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x^2 = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ xy = 1. \end{cases}$

1) Чтобы определить количество решений системы графически, построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости и найдем количество точек их пересечения.
Первое уравнение: $y = (x - 5)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из параболы $y = x^2$ сдвигом на 5 единиц вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(5, 0)$.
Второе уравнение: $xy = 5$, или $y = 5/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Поскольку парабола $y = (x - 5)^2$ целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), она может пересекаться только с той ветвью гиперболы, которая находится в I четверти (где $x>0$ и $y>0$).
Примерный эскиз графиков показывает, что в первой четверти парабола и гипербола пересекаются в трех точках. Ветвь параболы, идущая от вершины $(5,0)$ влево, пересекает гиперболу дважды. Ветвь параболы, идущая вправо, пересекает гиперболу один раз, так как парабола растет быстрее, чем убывает гипербола.
Следовательно, система имеет три решения.

Ответ: 3.

2) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - x = 3; \end{cases} $
Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.
Второе уравнение: $y - x = 3$, или $y = x + 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1 и пересекающей ось Oy в точке $(0, 3)$.
Чтобы найти количество решений, определим, пересекаются ли прямая и окружность. Для этого найдем расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y + 3 = 0$.
Формула расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Подставляем наши значения: $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$
Радиус окружности $R=1$. Поскольку расстояние от центра до прямой ($d \approx 2.12$) больше радиуса ($R=1$), прямая и окружность не имеют общих точек.

Ответ: 0.

3) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} y - x^2 = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases} $
Первое уравнение: $y = x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.
Второе уравнение: $y = -x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -b/(2a) = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$. $y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Вершина в точке $(2, 4)$.
Графики этих двух парабол — одна с ветвями вверх, другая с ветвями вниз — могут пересечься в двух точках, одной или не пересечься вовсе.
Чтобы найти количество точек пересечения, приравняем выражения для $y$: $x^2 + 1 = -x^2 + 4x$
$2x^2 - 4x + 1 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$
Поскольку $\Delta = 8 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что параболы пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

4) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ xy = 1; \end{cases} $
Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 6$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{6} \approx 2.45$.
Второе уравнение: $xy = 1$, или $y = 1/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Окружность симметрична относительно начала координат, так же как и гипербола. Поэтому, если есть точки пересечения в I четверти, то симметричные им точки будут и в III четверти.
Рассмотрим I четверть, где $x > 0$ и $y > 0$. Точка на гиперболе $y=1/x$, ближайшая к началу координат, — это точка $(1, 1)$. Расстояние от нее до центра $(0, 0)$ равно $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Радиус окружности $R = \sqrt{6}$.
Поскольку $\sqrt{2} < \sqrt{6}$, гипербола "заходит" внутрь окружности. Ветвь гиперболы в I четверти начинается "из бесконечности", приближается к центру до точки $(1, 1)$, а затем снова удаляется "в бесконечность". Окружность — это замкнутая кривая. Следовательно, ветвь гиперболы пересечет окружность в двух точках в I четверти.
В силу симметрии, ветвь гиперболы в III четверти также пересечет окружность в двух точках.
Итого получаем $2 + 2 = 4$ точки пересечения.

Ответ: 4.

455. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 4y = 24, \\ xy = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + 2x = 0, \\ x^2 + y^2 - 6y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 6; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4y - 3x = 4, \\ 5x^2 + 16y = 60; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 - x - 2y = 3, \\ x + y = 3. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 24, \\ xy = 12 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$. Так как $xy=12$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Получаем $y = \frac{12}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3x + 4\left(\frac{12}{x}\right) = 24$

$3x + \frac{48}{x} = 24$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 48 = 24x$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём уравнение к стандартному виду:

$3x^2 - 24x + 48 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(x - 4)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{12}{x} = \frac{12}{4} = 3$.

Решением системы является пара чисел $(4, 3)$.

Ответ: $(4, 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y + 2x = 0, \\ x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$

$x^2 + 4x^2 + 12x = 0$

$5x^2 + 12x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x_1 = 0$.

Тогда $y_1 = -2x_1 = -2(0) = 0$. Первое решение: $(0, 0)$.

2. $5x + 12 = 0$.

$5x_2 = -12 \implies x_2 = -\frac{12}{5}$.

Тогда $y_2 = -2x_2 = -2\left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{24}{5}$. Второе решение: $(-\frac{12}{5}, \frac{24}{5})$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(0, 0)$, $(-\frac{12}{5}, \frac{24}{5})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 7$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$

$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$

Приведём подобные слагаемые:

$-y^2 + 7y + 49 = 19$

$-y^2 + 7y + 30 = 0$

Умножим обе части на -1:

$y^2 - 7y - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение -30. Корни: $y_1=10$ и $y_2=-3$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = 10$, то $x_1 = 10 + 7 = 17$. Первое решение: $(17, 10)$.

2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 7 = 4$. Второе решение: $(4, -3)$.

Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(x - 3)((5 - x) + 5) = 6$

$(x - 3)(10 - x) = 6$

Раскроем скобки:

$10x - x^2 - 30 + 3x = 6$

Приведём подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$-x^2 + 13x - 30 = 6$

$-x^2 + 13x - 36 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение 36. Корни: $x_1=4$ и $x_2=9$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 5 - 4 = 1$. Первое решение: $(4, 1)$.

2. Если $x_2 = 9$, то $y_2 = 5 - 9 = -4$. Второе решение: $(9, -4)$.

Ответ: $(4, 1)$, $(9, -4)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4y - 3x = 4, \\ 5x^2 + 16y = 60 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $4y$:

$4y = 3x + 4$.

Во втором уравнении есть член $16y$, который можно представить как $4 \cdot (4y)$. Подставим в него выражение для $4y$:

$16y = 4(3x + 4) = 12x + 16$.

Теперь подставим это вo второе уравнение системы:

$5x^2 + (12x + 16) = 60$

$5x^2 + 12x + 16 - 60 = 0$

$5x^2 + 12x - 44 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4(5)(-44) = 144 + 880 = 1024$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{-12 - 32}{2 \cdot 5} = \frac{-44}{10} = -\frac{22}{5}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $4y = 3x + 4$, или $y = \frac{3x+4}{4}$:

1. Для $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{3(2) + 4}{4} = \frac{6+4}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Первое решение: $(2, \frac{5}{2})$.

2. Для $x_2 = -\frac{22}{5}$:

$y_2 = \frac{3(-\frac{22}{5}) + 4}{4} = \frac{-\frac{66}{5} + \frac{20}{5}}{4} = \frac{-\frac{46}{5}}{4} = -\frac{46}{20} = -\frac{23}{10}$. Второе решение: $(-\frac{22}{5}, -\frac{23}{10})$.

Ответ: $(2, \frac{5}{2})$, $(-\frac{22}{5}, -\frac{23}{10})$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 - x - 2y = 3, \\ x + y = 3 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, выделив в нем известные из второго уравнения выражения $(x+y)$ и $(x+y)^2$:

$x^2 + 2xy + y^2 + xy - (x + y) - y = 3$

$(x+y)^2 + xy - (x+y) - y = 3$

Подставим значение $x+y=3$ из второго уравнения в преобразованное первое:

$3^2 + xy - 3 - y = 3$

$9 + xy - 3 - y = 3$

$6 + xy - y = 3$

$xy - y = -3$

$y(x-1) = -3$.

Теперь у нас есть более простая система:

$ \begin{cases} x + y = 3, \\ y(x-1) = -3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = 3 - x$ и подставим во второе:

$(3-x)(x-1) = -3$

$3x - 3 - x^2 + x = -3$

$-x^2 + 4x - 3 = -3$

$-x^2 + 4x = 0$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$.

Отсюда получаем два значения для $x$:

1. $x_1 = 0$.

Тогда $y_1 = 3 - x_1 = 3 - 0 = 3$. Первое решение: $(0, 3)$.

2. $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.

Тогда $y_2 = 3 - x_2 = 3 - 4 = -1$. Второе решение: $(4, -1)$.

Ответ: $(0, 3)$, $(4, -1)$.

456. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ y - x = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x - 1)(y - 2) = 2, \\ x + y = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x - 2y = 3, \\ 3x^2 - 8y = -5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63 \\ y - x = 3 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = x + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$x^2 - (x^2 + 3x) + (x^2 + 6x + 9) = 63$
$x^2 - x^2 - 3x + x^2 + 6x + 9 = 63$
$x^2 + 3x + 9 = 63$
$x^2 + 3x - 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-3 - 15}{2} = -9$
$x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = x + 3$:
Если $x_1 = -9$, то $y_1 = -9 + 3 = -6$.
Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 6 + 3 = 9$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-9, -6)$, $(6, 9)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - 2y)^2 + (1 - 2y)y + 2y^2 = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(1 - 4y + 4y^2) + (y - 2y^2) + 2y^2 = 1$
$1 - 4y + 4y^2 + y - 2y^2 + 2y^2 = 1$
$1 - 3y + 4y^2 = 1$
$4y^2 - 3y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:
$y(4y - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 0$
$4y_2 - 3 = 0 \implies y_2 = \frac{3}{4}$

Найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = 1 - 2y$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 1 - 2(0) = 1$.
Если $y_2 = \frac{3}{4}$, то $x_2 = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $(1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x - 1)(y - 2) = 2 \\ x + y = 6 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 6 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(x - 1)((6 - x) - 2) = 2$
$(x - 1)(4 - x) = 2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4x - x^2 - 4 + x = 2$
$-x^2 + 5x - 4 = 2$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = 6 - x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6 - 2 = 4$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 6 - 3 = 3$.

Ответ: $(2, 4)$, $(3, 3)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ 3x^2 - 8y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $2y$:
$2y = 5x - 3$

Во втором уравнении $8y$ можно представить как $4 \cdot (2y)$. Подставим выражение для $2y$:
$3x^2 - 4(5x - 3) = -5$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$3x^2 - 20x + 12 = -5$
$3x^2 - 20x + 17 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 17 = 400 - 204 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{20 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{20 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $2y = 5x - 3$, или $y = \frac{5x - 3}{2}$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{5(1) - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Если $x_2 = \frac{17}{3}$, то $y_2 = \frac{5(\frac{17}{3}) - 3}{2} = \frac{\frac{85}{3} - \frac{9}{3}}{2} = \frac{\frac{76}{3}}{2} = \frac{76}{6} = \frac{38}{3}$.

Ответ: $(1, 1)$, $(\frac{17}{3}, \frac{38}{3})$.

457. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $3x - y = 1$ и параболы $y = 3x^2 + 8x - 3$;

2) прямой $2x - y = 2$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$;

3) прямой $x + y = 1$ и окружности $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16$;

4) парабол $y = x^2 - 4x + 7$ и $y = 3 + 4x - 2x^2$.

1) прямой $3x - y = 1$ и параболы $y = 3x^2 + 8x - 3$

Для нахождения координат точек пересечения необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = 1 \\ y = 3x^2 + 8x - 3\end{cases}$

Из первого уравнения выразим y: $y = 3x - 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 1 = 3x^2 + 8x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 8x - 3x - 3 + 1 = 0$

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение $y = 3x - 1$.

При $x_1 = \frac{1}{3}$:

$y_1 = 3 \cdot (\frac{1}{3}) - 1 = 1 - 1 = 0$

Первая точка пересечения: $(\frac{1}{3}, 0)$.

При $x_2 = -2$:

$y_2 = 3 \cdot (-2) - 1 = -6 - 1 = -7$

Вторая точка пересечения: $(-2, -7)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 0)$, $(-2, -7)$.

2) прямой $2x - y = 2$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 2 \\ y = \frac{4}{x}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим y: $y = 2x - 2$.

Подставим во второе уравнение. Заметим, что $x \neq 0$.

$2x - 2 = \frac{4}{x}$

Умножим обе части на x:

$x(2x - 2) = 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 2x - 2$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 \cdot 2 - 2 = 2$

Первая точка пересечения: $(2, 2)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4$

Вторая точка пересечения: $(-1, -4)$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-1, -4)$.

3) прямой $x + y = 1$ и окружности $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 1 \\ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16\end{cases}$

Из первого уравнения выразим y: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x - 1)^2 + ((1 - x) + 4)^2 = 16$

$(x - 1)^2 + (5 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x + 1) + (25 - 10x + x^2) = 16$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 12x + 26 = 16$

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 1 - x$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 - 1 = 0$

Первая точка пересечения: $(1, 0)$.

При $x_2 = 5$:

$y_2 = 1 - 5 = -4$

Вторая точка пересечения: $(5, -4)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(5, -4)$.

4) парабол $y = x^2 - 4x + 7$ и $y = 3 + 4x - 2x^2$

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x + 7 = 3 + 4x - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x + 7 - 3 - 4x + 2x^2 = 0$

$3x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения y. Используем первое уравнение $y = x^2 - 4x + 7$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$

Первая точка пересечения: $(2, 3)$.

При $x_2 = \frac{2}{3}$:

$y_2 = (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot (\frac{2}{3}) + 7 = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 7 = \frac{4 - 24 + 63}{9} = \frac{43}{9}$

Вторая точка пересечения: $(\frac{2}{3}, \frac{43}{9})$.

Ответ: $(2, 3)$, $(\frac{2}{3}, \frac{43}{9})$.

458. Докажите, что прямая $y - x = 3$ является касательной к окружности $(x + 5)^2 + y^2 = 2$, найдите координаты точки касания.

Доказательство того, что прямая является касательной

Прямая является касательной к окружности, если они имеют ровно одну общую точку. Чтобы найти количество общих точек, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. Если система имеет единственное решение, то прямая — касательная.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 3 \\ (x + 5)^2 + y^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 3$.

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$(x + 5)^2 + (x + 3)^2 = 2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$x^2 + 10x + 25 + x^2 + 6x + 9 = 2$

$2x^2 + 16x + 34 = 2$

$2x^2 + 16x + 32 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество его корней соответствует количеству точек пересечения. Найдём дискриминант $D$ этого уравнения, где $a=1$, $b=8$, $c=16$:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$

Так как дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, что и доказывает, что прямая $y - x = 3$ является касательной к окружности $(x + 5)^2 + y^2 = 2$.

Ответ: Прямая является касательной, так как система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение (дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю).

Нахождение координат точки касания

Координаты точки касания — это единственное решение системы уравнений. Для их нахождения решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 16 = 0$, полученное на предыдущем шаге.

Данное уравнение является полным квадратом:

$(x + 4)^2 = 0$

Отсюда находим значение $x$:

$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Теперь найдём соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в уравнение прямой $y = x + 3$:

$y = -4 + 3 = -1$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-4, -1)$.

Ответ: Координаты точки касания: $(-4, -1)$.