Номер 456, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

456. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ y - x = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x - 1)(y - 2) = 2, \\ x + y = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x - 2y = 3, \\ 3x^2 - 8y = -5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63 \\ y - x = 3 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = x + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$x^2 - (x^2 + 3x) + (x^2 + 6x + 9) = 63$
$x^2 - x^2 - 3x + x^2 + 6x + 9 = 63$
$x^2 + 3x + 9 = 63$
$x^2 + 3x - 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-3 - 15}{2} = -9$
$x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = x + 3$:
Если $x_1 = -9$, то $y_1 = -9 + 3 = -6$.
Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 6 + 3 = 9$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-9, -6)$, $(6, 9)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - 2y)^2 + (1 - 2y)y + 2y^2 = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(1 - 4y + 4y^2) + (y - 2y^2) + 2y^2 = 1$
$1 - 4y + 4y^2 + y - 2y^2 + 2y^2 = 1$
$1 - 3y + 4y^2 = 1$
$4y^2 - 3y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:
$y(4y - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 0$
$4y_2 - 3 = 0 \implies y_2 = \frac{3}{4}$

Найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = 1 - 2y$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 1 - 2(0) = 1$.
Если $y_2 = \frac{3}{4}$, то $x_2 = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $(1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x - 1)(y - 2) = 2 \\ x + y = 6 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 6 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(x - 1)((6 - x) - 2) = 2$
$(x - 1)(4 - x) = 2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4x - x^2 - 4 + x = 2$
$-x^2 + 5x - 4 = 2$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = 6 - x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 6 - 2 = 4$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 6 - 3 = 3$.

Ответ: $(2, 4)$, $(3, 3)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ 3x^2 - 8y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $2y$:
$2y = 5x - 3$

Во втором уравнении $8y$ можно представить как $4 \cdot (2y)$. Подставим выражение для $2y$:
$3x^2 - 4(5x - 3) = -5$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$3x^2 - 20x + 12 = -5$
$3x^2 - 20x + 17 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 17 = 400 - 204 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{20 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{20 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $2y = 5x - 3$, или $y = \frac{5x - 3}{2}$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{5(1) - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Если $x_2 = \frac{17}{3}$, то $y_2 = \frac{5(\frac{17}{3}) - 3}{2} = \frac{\frac{85}{3} - \frac{9}{3}}{2} = \frac{\frac{76}{3}}{2} = \frac{76}{6} = \frac{38}{3}$.

Ответ: $(1, 1)$, $(\frac{17}{3}, \frac{38}{3})$.