Номер 462, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

462. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y - xy = 1, \\ xy(x + y) = 20; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{21}{10}, \\ x + y = 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{6y}{x} = 5, \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} \frac{y}{x} + xy = -10, \\ \frac{5y}{x} - 2xy = 13; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 6, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 3(x + y)^2 + 2(x - 2y)^2 = 5, \\ 2(x - 2y) - x - y = 1. \end{cases} $

1) $ \begin{cases} x + y - xy = 1, \\ xy(x + y) = 20; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = xy$. Система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = 1, \\ ab = 20; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b+1$. Подставим во второе уравнение:

$(b+1)b = 20$

$b^2 + b - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = 4$ и $b_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = 4$.

Тогда $a = 4 + 1 = 5$. Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4; \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Случай 2: $b = -5$.

Тогда $a = -5 + 1 = -4$. Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = -5; \end{cases} $

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Следовательно, получаем еще две пары решений: $(1, -5)$ и $(-5, 1)$.

Ответ: $(1, 4)$, $(4, 1)$, $(1, -5)$, $(-5, 1)$.

2) $ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{21}{10}, \\ x + y = 3; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Приведем левую часть первого уравнения к общему знаменателю:

$\frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{21}{10}$

$\frac{(y - x)(y + x)}{xy} = \frac{21}{10}$

Из второго уравнения системы известно, что $x+y=3$. Подставим это значение в первое уравнение:

$\frac{(y - x) \cdot 3}{xy} = \frac{21}{10}$

$\frac{y - x}{xy} = \frac{7}{10}$

Также из второго уравнения $y = 3-x$. Подставим это в полученное уравнение:

$\frac{(3-x) - x}{x(3-x)} = \frac{7}{10}$

$\frac{3 - 2x}{3x - x^2} = \frac{7}{10}$

$10(3 - 2x) = 7(3x - x^2)$

$30 - 20x = 21x - 7x^2$

$7x^2 - 41x + 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-41)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 1681 - 840 = 841 = 29^2$.

$x_1 = \frac{41 - 29}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

$x_2 = \frac{41 + 29}{14} = \frac{70}{14} = 5$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{6}{7}$, то $y_1 = 3 - \frac{6}{7} = \frac{21-6}{7} = \frac{15}{7}$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 3 - 5 = -2$.

Ответ: $(\frac{6}{7}, \frac{15}{7})$, $(5, -2)$.

3) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{6y}{x} = 5, \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18; \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Введем замену в первом уравнении: $t = \frac{x}{y}$.

$t + \frac{6}{t} = 5$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим во второе уравнение системы:

$(2y)^2 + 4(2y)y - 3y^2 = 18$

$4y^2 + 8y^2 - 3y^2 = 18$

$9y^2 = 18 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}$.

Если $y_1 = \sqrt{2}$, то $x_1 = 2\sqrt{2}$.

Если $y_2 = -\sqrt{2}$, то $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Получаем решения: $(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.

Подставим во второе уравнение системы:

$(3y)^2 + 4(3y)y - 3y^2 = 18$

$9y^2 + 12y^2 - 3y^2 = 18$

$18y^2 = 18 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 3$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -3$.

Получаем решения: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, $(3, 1)$, $(-3, -1)$.

4) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6}$

$\frac{2}{x} = \frac{6}{6} = 1 \implies x = 2$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6}$

$\frac{2}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies y = 3$.

Ответ: $(2, 3)$.

5) $ \begin{cases} \frac{y}{x} + xy = -10, \\ \frac{5y}{x} - 2xy = 13; \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$. Введем замену: $a = \frac{y}{x}$ и $b = xy$.

$ \begin{cases} a + b = -10, \\ 5a - 2b = 13; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:

$2(a+b) + (5a-2b) = 2(-10) + 13$

$2a + 2b + 5a - 2b = -20 + 13$

$7a = -7 \implies a = -1$.

Подставим $a=-1$ в первое уравнение: $-1 + b = -10 \implies b = -9$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} \frac{y}{x} = -1, \\ xy = -9; \end{cases} $

Из первого уравнения $y = -x$. Подставим во второе:

$x(-x) = -9 \implies -x^2 = -9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -3$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = 3$.

Ответ: $(3, -3)$, $(-3, 3)$.

6) $ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 6, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

В первом уравнении введем замену $t = xy$:

$t^2 + t - 6 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$, $t_2 = -3$.

Получаем две системы:

Случай 1: $ \begin{cases} xy = 2, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 2x-3$. Подставим в первое:

$x(2x-3) = 2 \implies 2x^2 - 3x - 2 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$, тогда $y_1 = 2(-\frac{1}{2}) - 3 = -1 - 3 = -4$.

$x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$, тогда $y_2 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

Случай 2: $ \begin{cases} xy = -3, \\ 2x - y = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения $y = 2x-3$. Подставим в первое:

$x(2x-3) = -3 \implies 2x^2 - 3x + 3 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, -4)$, $(2, 1)$.

7) $ \begin{cases} 3(x + y)^2 + 2(x - 2y)^2 = 5, \\ 2(x - 2y) - x - y = 1; \end{cases} $

Введем замену: $a = x+y$ и $b = x-2y$. Второе уравнение можно переписать как $2b - a = 1$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3a^2 + 2b^2 = 5, \\ 2b - a = 1; \end{cases} $

Из второго уравнения $a = 2b-1$. Подставим в первое:

$3(2b-1)^2 + 2b^2 = 5$

$3(4b^2 - 4b + 1) + 2b^2 = 5$

$12b^2 - 12b + 3 + 2b^2 - 5 = 0$

$14b^2 - 12b - 2 = 0 \implies 7b^2 - 6b - 1 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

$b_1 = \frac{6-8}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$

$b_2 = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Найдем соответствующие значения $a$:

Если $b_1 = -\frac{1}{7}$, то $a_1 = 2(-\frac{1}{7}) - 1 = -\frac{2}{7} - 1 = -\frac{9}{7}$.

Если $b_2 = 1$, то $a_2 = 2(1) - 1 = 1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = -\frac{9}{7}$, $b = -\frac{1}{7}$.

$ \begin{cases} x+y = -\frac{9}{7}, \\ x-2y = -\frac{1}{7}; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $3y = -\frac{9}{7} - (-\frac{1}{7}) = -\frac{8}{7} \implies y = -\frac{8}{21}$.

$x = -\frac{9}{7} - y = -\frac{9}{7} - (-\frac{8}{21}) = -\frac{27}{21} + \frac{8}{21} = -\frac{19}{21}$.

Решение: $(-\frac{19}{21}, -\frac{8}{21})$.

Случай 2: $a = 1$, $b = 1$.

$ \begin{cases} x+y = 1, \\ x-2y = 1; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого: $3y = 0 \implies y = 0$.

$x = 1 - y = 1 - 0 = 1$.

Решение: $(1, 0)$.

Ответ: $(-\frac{19}{21}, -\frac{8}{21})$, $(1, 0)$.