Номер 469, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

469. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 10xy + 25y^2 = 49 \\ x - 5y = -3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y \\ x + 2y = 4 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 25y^2 = 104 \\ xy = -4 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 10xy + 25y^2 = 49, \\x - 5y = -3;\end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=5y$.

$x^2 + 10xy + 25y^2 = (x + 5y)^2$.

Тогда первое уравнение можно переписать в виде $(x + 5y)^2 = 49$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$x + 5y = 7$ или $x + 5y = -7$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, объединяя его со вторым уравнением системы.

Случай а) Решаем систему:

$\begin{cases}x + 5y = 7, \\x - 5y = -3;\end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x + 5y) + (x - 5y) = 7 + (-3)$, что дает $2x = 4$, откуда $x = 2$.

Подставим $x = 2$ во второе уравнение $x - 5y = -3$: $2 - 5y = -3$.

Отсюда $-5y = -5$, то есть $y = 1$.

Первое решение: $(2, 1)$.

Случай б) Решаем систему:

$\begin{cases}x + 5y = -7, \\x - 5y = -3;\end{cases}$

Сложим два уравнения: $(x + 5y) + (x - 5y) = -7 + (-3)$, что дает $2x = -10$, откуда $x = -5$.

Подставим $x = -5$ во второе уравнение $x - 5y = -3$: $-5 - 5y = -3$.

Отсюда $-5y = 2$, то есть $y = -2/5$.

Второе решение: $(-5, -2/5)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-5, -2/5)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 4xy + 4y^2 = 4x + 2y, \\x + 2y = 4;\end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$.

Таким образом, первое уравнение можно записать как $(x + 2y)^2 = 4x + 2y$.

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x + 2y = 4$.

Подставим это значение в левую часть преобразованного первого уравнения:

$4^2 = 4x + 2y$,

$16 = 4x + 2y$.

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases}4x + 2y = 16, \\x + 2y = 4;\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(4x + 2y) - (x + 2y) = 16 - 4$.

Это дает $3x = 12$, откуда $x = 4$.

Подставим $x = 4$ во второе уравнение $x + 2y = 4$:

$4 + 2y = 4$,

$2y = 0$,

$y = 0$.

Проверим решение $(4, 0)$ в исходной системе. Первое уравнение: $4^2 + 4(4)(0) + 4(0)^2 = 16$ и $4(4) + 2(0) = 16$. $16=16$. Второе уравнение: $4+2(0)=4$. $4=4$. Решение верно.

Ответ: $(4, 0)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 10, \\xy = 3;\end{cases}$

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2+y^2) + 2xy$.

Подставим известные значения из системы: $(x+y)^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 16$.

Отсюда $x+y = 4$ или $x+y = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай а) $x+y=4$ и $xy=3$.

Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставляем значения: $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай б) $x+y=-4$ и $xy=3$.

Аналогично, составляем квадратное уравнение: $t^2 - (-4)t + 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 3 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + 25y^2 = 104, \\xy = -4;\end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать формулы квадрата суммы и разности. Умножим второе уравнение на 10: $10xy = -40$.

Рассмотрим выражение $(x+5y)^2$:

$(x+5y)^2 = x^2 + 10xy + 25y^2 = (x^2+25y^2) + 10xy = 104 + (-40) = 64$.

Отсюда $x+5y=8$ или $x+5y=-8$.

Рассмотрим выражение $(x-5y)^2$:

$(x-5y)^2 = x^2 - 10xy + 25y^2 = (x^2+25y^2) - 10xy = 104 - (-40) = 104+40=144$.

Отсюда $x-5y=12$ или $x-5y=-12$.

Теперь мы можем решить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные результаты.

Случай а)$\begin{cases}x + 5y = 8, \\x - 5y = 12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = 20 \Rightarrow x=10$. Подставляя в первое уравнение: $10 + 5y = 8 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -2/5$. Решение: $(10, -2/5)$.

Случай б)$\begin{cases}x + 5y = 8, \\x - 5y = -12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = -4 \Rightarrow x=-2$. Подставляя в первое уравнение: $-2 + 5y = 8 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$. Решение: $(-2, 2)$.

Случай в)$\begin{cases}x + 5y = -8, \\x - 5y = 12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = 4 \Rightarrow x=2$. Подставляя в первое уравнение: $2 + 5y = -8 \Rightarrow 5y = -10 \Rightarrow y = -2$. Решение: $(2, -2)$.

Случай г)$\begin{cases}x + 5y = -8, \\x - 5y = -12;\end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x = -20 \Rightarrow x=-10$. Подставляя в первое уравнение: $-10 + 5y = -8 \Rightarrow 5y = 2 \Rightarrow y = 2/5$. Решение: $(-10, 2/5)$.

Ответ: $(10, -2/5)$, $(-2, 2)$, $(2, -2)$, $(-10, 2/5)$.