Номер 470, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

470. При каких значениях $a$ система уравнений$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 9, \\x - y = a\end{cases}$$

1) имеет одно решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Для решения данной системы уравнений можно использовать как алгебраический, так и графический метод. Графически первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ представляет собой окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Второе уравнение $x - y = a$, или $y = x - a$, — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $1$. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения прямой и окружности.

Мы воспользуемся алгебраическим методом. Выразим $x$ из второго уравнения и подставим в первое.

Из $x - y = a$ следует, что $x = y + a$.

Подставим это выражение в первое уравнение:$(y + a)^2 + y^2 = 9$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду относительно переменной $y$:$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 9$$2y^2 + 2ay + (a^2 - 9) = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения (а следовательно, и исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$.Найдем дискриминант:$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8(a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2$.

1) имеет одно решение

Система имеет одно решение, когда квадратное уравнение имеет один корень, то есть когда дискриминант равен нулю ($D=0$).$72 - 4a^2 = 0$$4a^2 = 72$$a^2 = 18$$a = \pm\sqrt{18}$$a = \pm 3\sqrt{2}$

Ответ: $a = 3\sqrt{2}$ или $a = -3\sqrt{2}$.

2) имеет два решения

Система имеет два решения, когда квадратное уравнение имеет два различных корня, то есть когда дискриминант больше нуля ($D>0$).$72 - 4a^2 > 0$$72 > 4a^2$$18 > a^2$$a^2 < 18$Это неравенство выполняется при $- \sqrt{18} < a < \sqrt{18}$, то есть $-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2})$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней, то есть когда дискриминант меньше нуля ($D<0$).$72 - 4a^2 < 0$$72 < 4a^2$$18 < a^2$$a^2 > 18$Это неравенство выполняется при $a > \sqrt{18}$ или $a < -\sqrt{18}$, то есть $a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}; +\infty)$.