Номер 464, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

464. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 28, \\ x^2 + xy + y^2 = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ xy = 12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 19, \\ xy = -6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 1, \\ x + y = 1. \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим известные значения из системы в формулу:

$1 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2)$

$x^2 - xy + y^2 = 1$

Теперь у нас есть новая, эквивалентная система:

$ \begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 - xy + y^2 = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - x(1-x) + (1-x)^2 = 1$

$x^2 - x + x^2 + (1 - 2x + x^2) = 1$

$3x^2 - 3x + 1 = 1$

$3x^2 - 3x = 0$

$3x(x - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 1 - 0 = 1$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, получаем два решения.

Ответ: $(0; 1), (1; 0)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 28, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим известные значения из системы в формулу:

$28 = (x-y) \cdot 7$

Разделим обе части на 7:

$x - y = 4$

Теперь решаем новую систему:

$ \begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 4$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y+4)^2 + (y+4)y + y^2 = 7$

$(y^2 + 8y + 16) + (y^2 + 4y) + y^2 = 7$

$3y^2 + 12y + 16 = 7$

$3y^2 + 12y + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$y^2 + 4y + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 4 = 3$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 4 = 1$.

Получаем два решения.

Ответ: $(3; -1), (1; -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ (при условии, что $x \neq 0$): $y = \frac{12}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{12}{x})^2 = 7$

$x^2 - \frac{144}{x^2} = 7$

Умножим обе части на $x^2$:

$x^4 - 144 = 7x^2$

$x^4 - 7x^2 - 144 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:

$t^2 - 7t - 144 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625 = 25^2$

$t = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{7 \pm 25}{2}$

$t_1 = \frac{7 + 25}{2} = 16$

$t_2 = \frac{7 - 25}{2} = -9$

Корень $t_2 = -9$ не подходит, так как $t = x^2 \ge 0$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 16$.

Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{12}{4} = 3$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{12}{-4} = -3$.

Получаем два решения.

Ответ: $(4; 3), (-4; -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 19, \\ xy = -6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ (при условии, что $x \neq 0$): $y = -\frac{6}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x^2 - 2(-\frac{6}{x})^2 = 19$

$3x^2 - 2(\frac{36}{x^2}) = 19$

$3x^2 - \frac{72}{x^2} = 19$

Умножим обе части на $x^2$:

$3x^4 - 72 = 19x^2$

$3x^4 - 19x^2 - 72 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$:

$3t^2 - 19t - 72 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-72) = 361 + 864 = 1225 = 35^2$

$t = \frac{19 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{19 \pm 35}{6}$

$t_1 = \frac{19 + 35}{6} = \frac{54}{6} = 9$

$t_2 = \frac{19 - 35}{6} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3}$

Корень $t_2 = -\frac{8}{3}$ не подходит, так как $t = x^2 \ge 0$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 9$.

Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -\frac{6}{3} = -2$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -\frac{6}{-3} = 2$.

Получаем два решения.

Ответ: $(3; -2), (-3; 2)$.