Номер 465, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

465. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 56, \\ x - y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 5x^2 - y^2 = -4, \\ xy = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 56, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x через y:

$x = y + 2$

Подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы:

$(y + 2)^3 - y^3 = 56$

Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ для раскрытия скобок:

$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 2 + 3 \cdot y \cdot 2^2 + 2^3) - y^3 = 56$

$y^3 + 6y^2 + 12y + 8 - y^3 = 56$

Приведем подобные слагаемые:

$6y^2 + 12y + 8 = 56$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6y^2 + 12y + 8 - 56 = 0$

$6y^2 + 12y - 48 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$y^2 + 2y - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.

Таким образом, $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения x, используя подстановку $x = y + 2$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 = 4$. Получаем решение $(4; 2)$.

2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 2 = -2$. Получаем решение $(-2; -4)$.

Ответ: $(4; 2)$, $(-2; -4)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x^2 - y^2 = -4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x. Так как $xy=3$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

$y = \frac{3}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5x^2 - \left(\frac{3}{x}\right)^2 = -4$

$5x^2 - \frac{9}{x^2} = -4$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$5x^2 \cdot x^2 - 9 = -4x^2$

$5x^4 + 4x^2 - 9 = 0$

Мы получили биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

$5t^2 + 4t - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно t. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Найдем корни для t:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{-18}{10} = -1.8$

Корень $t_2 = -1.8$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для x: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя соотношение $y = \frac{3}{x}$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Получаем решение $(1; 3)$.

2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{3}{-1} = -3$. Получаем решение $(-1; -3)$.

Ответ: $(1; 3)$, $(-1; -3)$.