Номер 468, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

468. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 - 12xy + 36y^2 = 36, \\ x + 6y = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 - 2xy = 32, \\ x^2 + 6xy + 9y^2 = 100; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 9x^2 + y^2 = 10, \\ xy = -1. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 12xy + 36y^2 = 36, \\ x + 6y = 8; \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Его левая часть представляет собой полный квадрат разности, так как $x^2 - 12xy + 36y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (6y) + (6y)^2 = (x - 6y)^2$.

Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:

$(x - 6y)^2 = 36$

Из этого уравнения следует, что $x - 6y$ может быть равно $6$ или $-6$. Это дает нам два случая.

Случай 1: $x - 6y = 6$.

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - 6y = 6, \\ x + 6y = 8; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(x - 6y) + (x + 6y) = 6 + 8$, что приводит к $2x = 14$, и, следовательно, $x = 7$.

Подставим значение $x = 7$ во второе уравнение системы: $7 + 6y = 8$.

Отсюда $6y = 1$, и $y = \frac{1}{6}$.

Первая пара решений: $(7, \frac{1}{6})$.

Случай 2: $x - 6y = -6$.

Получаем вторую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - 6y = -6, \\ x + 6y = 8; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $(x - 6y) + (x + 6y) = -6 + 8$, что приводит к $2x = 2$, и, следовательно, $x = 1$.

Подставим значение $x = 1$ во второе уравнение системы: $1 + 6y = 8$.

Отсюда $6y = 7$, и $y = \frac{7}{6}$.

Вторая пара решений: $(1, \frac{7}{6})$.

Ответ: $(7; \frac{1}{6}), (1; \frac{7}{6})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - 2xy = 32, \\ x^2 + 6xy + 9y^2 = 100; \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение. Его левая часть является полным квадратом суммы: $x^2 + 6xy + 9y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2$.

Таким образом, второе уравнение можно переписать в виде:

$(x + 3y)^2 = 100$

Из этого уравнения следует, что $x + 3y$ может быть равно $10$ или $-10$. Это дает нам два случая.

Случай 1: $x + 3y = 10$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 10 - 3y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $y^2 - 2xy = 32$:

$y^2 - 2(10 - 3y)y = 32$

$y^2 - 20y + 6y^2 = 32$

$7y^2 - 20y - 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-32) = 400 + 896 = 1296 = 36^2$.

$y_1 = \frac{20 + 36}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$.

$y_2 = \frac{20 - 36}{2 \cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 10 - 3 \cdot 4 = 10 - 12 = -2$.

Если $y_2 = -\frac{8}{7}$, то $x_2 = 10 - 3 \cdot (-\frac{8}{7}) = 10 + \frac{24}{7} = \frac{70+24}{7} = \frac{94}{7}$.

Случай 2: $x + 3y = -10$.

Выразим $x$ через $y$: $x = -10 - 3y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы $y^2 - 2xy = 32$:

$y^2 - 2(-10 - 3y)y = 32$

$y^2 + 20y + 6y^2 = 32$

$7y^2 + 20y - 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 20^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-32) = 400 + 896 = 1296 = 36^2$.

$y_3 = \frac{-20 + 36}{2 \cdot 7} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.

$y_4 = \frac{-20 - 36}{2 \cdot 7} = \frac{-56}{14} = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{8}{7}$, то $x_3 = -10 - 3 \cdot \frac{8}{7} = -10 - \frac{24}{7} = \frac{-70-24}{7} = -\frac{94}{7}$.

Если $y_4 = -4$, то $x_4 = -10 - 3 \cdot (-4) = -10 + 12 = 2$.

Ответ: $(-2; 4), (\frac{94}{7}; -\frac{8}{7}), (-\frac{94}{7}; \frac{8}{7}), (2; -4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases}$

Это симметрическая система. Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = 24$.

Сложим уравнение $x^2 + y^2 = 25$ с уравнением $2xy = 24$:

$x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24$

$(x+y)^2 = 49$, откуда $x+y=7$ или $x+y=-7$.

Вычтем уравнение $2xy = 24$ из уравнения $x^2 + y^2 = 25$:

$x^2 - 2xy + y^2 = 25 - 24$

$(x-y)^2 = 1$, откуда $x-y=1$ или $x-y=-1$.

Теперь рассмотрим четыре возможные системы линейных уравнений:

1) $\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=8 \implies x=4$. Тогда $4+y=7 \implies y=3$. Решение: $(4, 3)$.

2) $\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=-1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=6 \implies x=3$. Тогда $3+y=7 \implies y=4$. Решение: $(3, 4)$.

3) $\begin{cases} x+y=-7 \\ x-y=1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=-6 \implies x=-3$. Тогда $-3+y=-7 \implies y=-4$. Решение: $(-3, -4)$.

4) $\begin{cases} x+y=-7 \\ x-y=-1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x=-8 \implies x=-4$. Тогда $-4+y=-7 \implies y=-3$. Решение: $(-4, -3)$.

Ответ: $(4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9x^2 + y^2 = 10, \\ xy = -1; \end{cases}$

Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$. Используем метод, аналогичный предыдущему заданию. Умножим второе уравнение на 6: $6xy = -6$.

Сложим уравнение $9x^2+y^2=10$ с уравнением $6xy=-6$:

$9x^2 + 6xy + y^2 = 10 - 6$

$(3x+y)^2 = 4$, откуда $3x+y=2$ или $3x+y=-2$.

Это дает нам два случая.

Случай 1: $3x + y = 2$.

Выразим $y$: $y = 2 - 3x$. Подставим во второе уравнение системы $xy = -1$:

$x(2 - 3x) = -1$

$2x - 3x^2 = -1$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

$x_1 = \frac{2+4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$. Тогда $y_1 = 2 - 3(1) = -1$.

$x_2 = \frac{2-4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. Тогда $y_2 = 2 - 3(-\frac{1}{3}) = 2 + 1 = 3$.

Случай 2: $3x + y = -2$.

Выразим $y$: $y = -2 - 3x$. Подставим во второе уравнение системы $xy = -1$:

$x(-2 - 3x) = -1$

$-2x - 3x^2 = -1$

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

$x_3 = \frac{-2+4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Тогда $y_3 = -2 - 3(\frac{1}{3}) = -2 - 1 = -3$.

$x_4 = \frac{-2-4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$. Тогда $y_4 = -2 - 3(-1) = -2 + 3 = 1$.

Ответ: $(1; -1), (-\frac{1}{3}; 3), (\frac{1}{3}; -3), (-1; 1)$.