Номер 466, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

466. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3y - 2xy = 2 \\ x + 2xy = 5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy + y = 30 \\ xy + x = 28 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3x - 2y = 10 \\ 5xy - 2x^2 + 7x - 8y = 10 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3y - 2xy = 2 \\ x + 2xy = 5 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений. Члены $-2xy$ и $2xy$ взаимно уничтожатся:

$(3y - 2xy) + (x + 2xy) = 2 + 5$

$x + 3y = 7$

Из полученного уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 7 - 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $x + 2xy = 5$:

$(7 - 3y) + 2(7 - 3y)y = 5$

Раскроем скобки и упростим:

$7 - 3y + 14y - 6y^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:

$-6y^2 + 11y + 7 - 5 = 0$

$-6y^2 + 11y + 2 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$6y^2 - 11y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем значения $y$:

$y_1 = \frac{-(-11) + 13}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 13}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$y_2 = \frac{-(-11) - 13}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 13}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 7 - 3y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1$.

Если $y_2 = -\frac{1}{6}$, то $x_2 = 7 - 3 \cdot (-\frac{1}{6}) = 7 + \frac{3}{6} = 7 + \frac{1}{2} = 7.5$.

Ответ: $(1, 2)$, $(7.5, -1/6)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy + y = 30 \\ xy + x = 28 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(xy + y) - (xy + x) = 30 - 28$

$y - x = 2$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $xy + x = 28$:

$x(x + 2) + x = 28$

$x^2 + 2x + x = 28$

$x^2 + 3x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ должны удовлетворять условиям $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -28$. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = x + 2$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 + 2 = 6$.

Если $x_2 = -7$, то $y_2 = -7 + 2 = -5$.

Ответ: $(4, 6)$, $(-7, -5)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$

$2x^2 + 2x = 24$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + x = 12 \implies x^2 + x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6$

$2y^2 + 2y = 12$

Разделим уравнение на 2:

$y^2 + y = 6 \implies y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Мы получили возможные значения для $x$ и $y$. Теперь необходимо проверить, какие пары $(x, y)$ являются решениями исходной системы. Подставим найденные значения $x$ в одно из уравнений, например, в $x^2 + x - 12 = 0$ (которое мы получили) и проверим, удовлетворяют ли получившиеся пары второму уравнению.

Сначала подставим $x=3$ в первое исходное уравнение:

$3^2 + y^2 + 3 + y = 18 \implies 9 + y^2 + 3 + y = 18 \implies y^2 + y - 6 = 0$

Корни этого уравнения $y = 2$ и $y = -3$. Таким образом, мы получаем две возможные пары: $(3, 2)$ и $(3, -3)$.

Теперь подставим $x=-4$ в первое исходное уравнение:

$(-4)^2 + y^2 - 4 + y = 18 \implies 16 + y^2 - 4 + y = 18 \implies y^2 + y - 6 = 0$

Корни этого уравнения также $y = 2$ и $y = -3$. Получаем еще две возможные пары: $(-4, 2)$ и $(-4, -3)$.

Проверим все четыре пары, подставив их во второе исходное уравнение $x^2 - y^2 + x - y = 6$:

Для $(3, 2): 3^2 - 2^2 + 3 - 2 = 9 - 4 + 1 = 6$. Верно.

Для $(3, -3): 3^2 - (-3)^2 + 3 - (-3) = 9 - 9 + 3 + 3 = 6$. Верно.

Для $(-4, 2): (-4)^2 - 2^2 + (-4) - 2 = 16 - 4 - 4 - 2 = 6$. Верно.

Для $(-4, -3): (-4)^2 - (-3)^2 + (-4) - (-3) = 16 - 9 - 4 + 3 = 6$. Верно.

Все четыре пары являются решениями.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -3)$, $(-4, 2)$, $(-4, -3)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3x - 2y = 10 \\ 5xy - 2x^2 + 7x - 8y = 10 \end{cases}$

Заметим, что в уравнениях есть противоположные члены $2x^2$ и $-2x^2$, а также $-5xy$ и $5xy$. Это наводит на мысль о сложении уравнений.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x^2 - 5xy + 3x - 2y) + (5xy - 2x^2 + 7x - 8y) = 10 + 10$

$(2x^2 - 2x^2) + (-5xy + 5xy) + (3x + 7x) + (-2y - 8y) = 20$

$10x - 10y = 20$

Разделим обе части на 10:

$x - y = 2 \implies x = y + 2$

Подставим выражение $x = y + 2$ в первое уравнение исходной системы:

$2(y+2)^2 - 5(y+2)y + 3(y+2) - 2y = 10$

Раскроем скобки:

$2(y^2 + 4y + 4) - (5y^2 + 10y) + (3y + 6) - 2y = 10$

$2y^2 + 8y + 8 - 5y^2 - 10y + 3y + 6 - 2y = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y^2 - 5y^2) + (8y - 10y + 3y - 2y) + (8 + 6) = 10$

$-3y^2 - y + 14 = 10$

$-3y^2 - y + 4 = 0$

Умножим на $-1$:

$3y^2 + y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 2$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -\frac{4}{3}$, то $x_2 = -\frac{4}{3} + 2 = -\frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $(3, 1)$, $(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3})$.