Номер 460, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

460. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}, \\ 2x - y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1, \\ x + 5y = 3. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:$$\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\2x - y = 2 \end{cases}$$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 2x - 2$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 2} = \frac{1}{12}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(2x - 2) - x}{x(2x - 2)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x - 2}{2x^2 - 2x} = \frac{1}{12}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$12(x - 2) = 1(2x^2 - 2x)$
$12x - 24 = 2x^2 - 2x$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 2x - 12x + 24 = 0$
$2x^2 - 14x + 24 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 7x + 12 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
2. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$.
Получили две пары решений: $(3; 4)$ и $(4; 6)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(3; 4), (4; 6)$.

2) Дана система уравнений:$$\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\x + 5y = 3 \end{cases}$$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 3 - 5y$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{4}{3 - 5y} + \frac{3}{y} = 1$
Приведем левую часть к общему знаменателю $y(3 - 5y)$:
$\frac{4y + 3(3 - 5y)}{y(3 - 5y)} = 1$
$\frac{4y + 9 - 15y}{3y - 5y^2} = 1$
$\frac{9 - 11y}{3y - 5y^2} = 1$
Умножим обе части на знаменатель $3y - 5y^2$:
$9 - 11y = 3y - 5y^2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$5y^2 - 11y - 3y + 9 = 0$
$5y^2 - 14y + 9 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16$
$\sqrt{D} = 4$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 - 5(1) = 3 - 5 = -2$.
2. Если $y_2 = \frac{9}{5}$, то $x_2 = 3 - 5(\frac{9}{5}) = 3 - 9 = -6$.
Получили две пары решений: $(-2; 1)$ и $(-6; \frac{9}{5})$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(-2; 1), (-6; \frac{9}{5})$.