Номер 461, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

461. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}, \\ 3x + y = 8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ x - y = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Из второго уравнения системы выразим $x$: $x = y + 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $\frac{1}{y+1} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $y(y+1)$: $\frac{y + (y+1)}{y(y+1)} = \frac{3}{2}$,
$\frac{2y+1}{y^2+y} = \frac{3}{2}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $2(2y+1) = 3(y^2+y)$.
Раскроем скобки: $4y+2 = 3y^2+3y$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $3y^2 + 3y - 4y - 2 = 0$,
$3y^2 - y - 2 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \ne 0$).
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = y + 1$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.
Если $y_2 = -\frac{2}{3}$, то $x_2 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
Таким образом, система имеет два решения: $(2; 1)$ и $(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3})$.
Ответ: $(2; 1)$, $(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3})$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ 3x + y = 8 \end{cases} $
Область допустимых значений: $x \ne 0$, $y \ne 0$.
Из второго уравнения системы выразим $y$: $y = 8 - 3x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $\frac{1}{x} - \frac{1}{8-3x} = \frac{4}{5}$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(8-3x)$: $\frac{(8-3x) - x}{x(8-3x)} = \frac{4}{5}$,
$\frac{8-4x}{8x-3x^2} = \frac{4}{5}$.
Используя свойство пропорции, получаем: $5(8-4x) = 4(8x-3x^2)$.
Раскроем скобки: $40 - 20x = 32x - 12x^2$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $12x^2 - 20x - 32x + 40 = 0$,
$12x^2 - 52x + 40 = 0$.
Для упрощения разделим все уравнение на 4: $3x^2 - 13x + 10 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13+7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13-7}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 8 - 3x$:
Если $x_1 = \frac{10}{3}$, то $y_1 = 8 - 3 \cdot \frac{10}{3} = 8 - 10 = -2$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5$.
Полученные значения $y$ не равны нулю, значит удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, система имеет два решения: $(\frac{10}{3}; -2)$ и $(1; 5)$.
Ответ: $(\frac{10}{3}; -2)$, $(1; 5)$.