Номер 457, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

457. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $3x - y = 1$ и параболы $y = 3x^2 + 8x - 3$;

2) прямой $2x - y = 2$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$;

3) прямой $x + y = 1$ и окружности $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16$;

4) парабол $y = x^2 - 4x + 7$ и $y = 3 + 4x - 2x^2$.

1) прямой $3x - y = 1$ и параболы $y = 3x^2 + 8x - 3$

Для нахождения координат точек пересечения необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = 1 \\ y = 3x^2 + 8x - 3\end{cases}$

Из первого уравнения выразим y: $y = 3x - 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x - 1 = 3x^2 + 8x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 8x - 3x - 3 + 1 = 0$

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя уравнение $y = 3x - 1$.

При $x_1 = \frac{1}{3}$:

$y_1 = 3 \cdot (\frac{1}{3}) - 1 = 1 - 1 = 0$

Первая точка пересечения: $(\frac{1}{3}, 0)$.

При $x_2 = -2$:

$y_2 = 3 \cdot (-2) - 1 = -6 - 1 = -7$

Вторая точка пересечения: $(-2, -7)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 0)$, $(-2, -7)$.

2) прямой $2x - y = 2$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 2 \\ y = \frac{4}{x}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим y: $y = 2x - 2$.

Подставим во второе уравнение. Заметим, что $x \neq 0$.

$2x - 2 = \frac{4}{x}$

Умножим обе части на x:

$x(2x - 2) = 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 2x - 2$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 \cdot 2 - 2 = 2$

Первая точка пересечения: $(2, 2)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4$

Вторая точка пересечения: $(-1, -4)$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-1, -4)$.

3) прямой $x + y = 1$ и окружности $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 1 \\ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 16\end{cases}$

Из первого уравнения выразим y: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x - 1)^2 + ((1 - x) + 4)^2 = 16$

$(x - 1)^2 + (5 - x)^2 = 16$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x + 1) + (25 - 10x + x^2) = 16$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 12x + 26 = 16$

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 1 - x$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 - 1 = 0$

Первая точка пересечения: $(1, 0)$.

При $x_2 = 5$:

$y_2 = 1 - 5 = -4$

Вторая точка пересечения: $(5, -4)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(5, -4)$.

4) парабол $y = x^2 - 4x + 7$ и $y = 3 + 4x - 2x^2$

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x + 7 = 3 + 4x - 2x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x + 7 - 3 - 4x + 2x^2 = 0$

$3x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения y. Используем первое уравнение $y = x^2 - 4x + 7$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$

Первая точка пересечения: $(2, 3)$.

При $x_2 = \frac{2}{3}$:

$y_2 = (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot (\frac{2}{3}) + 7 = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 7 = \frac{4 - 24 + 63}{9} = \frac{43}{9}$

Вторая точка пересечения: $(\frac{2}{3}, \frac{43}{9})$.

Ответ: $(2, 3)$, $(\frac{2}{3}, \frac{43}{9})$.