Номер 451, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

451. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} y = x + 3, \\ x^2 - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x = 2, \\ x^2 - 2xy = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - 4y = 2, \\ xy + 2y = 8; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy = 15, \\ 2x - y = 7; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = x + 3 \\ x^2 - 2y = 9 \end{cases} $.
Метод подстановки заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение. В данной системе $y$ уже выражен в первом уравнении.
Подставим выражение $y = x + 3$ во второе уравнение:
$x^2 - 2(x + 3) = 9$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x - 6 = 9$
$x^2 - 2x - 6 - 9 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -15$.
Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = x + 3$:
При $x_1 = 5$, $y_1 = 5 + 3 = 8$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -3 + 3 = 0$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(5; 8), (-3; 0)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $.
Выразим одну из переменных из первого уравнения. Например, выразим $y$:
$y = 5 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x(5 - x) = 4$
$5x - x^2 = 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $y$ из выражения $y = 5 - x$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 5 - 1 = 4$.
При $x_2 = 4$, $y_2 = 5 - 4 = 1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(1; 4), (4; 1)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y - x = 2 \\ x^2 - 2xy = 3 \end{cases} $.
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = x + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 - 2x(x + 2) = 3$
$x^2 - 2x^2 - 4x = 3$
$-x^2 - 4x - 3 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -4$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 3$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ из выражения $y = x + 2$:
При $x_1 = -1$, $y_1 = -1 + 2 = 1$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -3 + 2 = -1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(-1; 1), (-3; -1)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 4y = 2 \\ xy + 2y = 8 \end{cases} $.
Из первого уравнения удобнее выразить $x$:
$x = 4y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(4y + 2)y + 2y = 8$
$4y^2 + 2y + 2y = 8$
$4y^2 + 4y - 8 = 0$
Разделим все уравнение на 4:
$y^2 + y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$ по теореме Виета:
Сумма корней $y_1 + y_2 = -1$.
Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = -2$.
Корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$ из выражения $x = 4y + 2$:
При $y_1 = 1$, $x_1 = 4(1) + 2 = 6$.
При $y_2 = -2$, $x_2 = 4(-2) + 2 = -8 + 2 = -6$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(6; 1), (-6; -2)$.

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy = 15 \\ 2x - y = 7 \end{cases} $.
Из второго уравнения выразим $y$:
$-y = 7 - 2x$
$y = 2x - 7$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x(2x - 7) = 15$
$2x^2 - 7x = 15$
$2x^2 - 7x - 15 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 13}{4}$.
$x_1 = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$x_2 = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Найдем соответствующие значения $y$ из выражения $y = 2x - 7$:
При $x_1 = 5$, $y_1 = 2(5) - 7 = 10 - 7 = 3$.
При $x_2 = -\frac{3}{2}$, $y_2 = 2(-\frac{3}{2}) - 7 = -3 - 7 = -10$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(5; 3), (-\frac{3}{2}; -10)$.

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $.
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 4$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 8$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(y^2 + 8y + 16) + y^2 = 8$
$2y^2 + 8y + 16 - 8 = 0$
$2y^2 + 8y + 8 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$y^2 + 4y + 4 = 0$
Свернем левую часть по формуле полного квадрата:
$(y + 2)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$.
Найдем соответствующее значение $x$ из выражения $x = y + 4$:
$x = -2 + 4 = 2$.
Система имеет одно решение.
Ответ: $(2; -2)$.