Номер 449, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

449. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y + x^2 = 3, \\ y = x - 1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12. \end{cases} $

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $x + y = 5$, можно переписать в виде $y = 5 - x$. Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их:

• если $x = 0$, то $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Второе уравнение, $xy = 6$, можно переписать в виде $y = \frac{6}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности, ее график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• $x = 1, y = 6$
• $x = 2, y = 3$
• $x = 3, y = 2$
• $x = 6, y = 1$
• $x = -1, y = -6$
• $x = -2, y = -3$
• $x = -3, y = -2$
• $x = -6, y = -1$

Построим графики на одной координатной плоскости. Решениями системы являются координаты точек пересечения графиков. Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y + x^2 = 3, \\ y = x - 1; \end{cases} $

Первое уравнение, $y + x^2 = 3$, преобразуем к виду $y = -x^2 + 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Построим параболу по точкам:

• $x = 1, y = -1^2 + 3 = 2$
• $x = -1, y = -(-1)^2 + 3 = 2$
• $x = 2, y = -2^2 + 3 = -1$
• $x = -2, y = -(-2)^2 + 3 = -1$

Второе уравнение, $y = x - 1$, — это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
• если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построим графики в одной системе координат. Решениями системы являются координаты точек пересечения параболы и прямой. На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Поскольку точки пересечения не имеют целочисленных координат, определим их приблизительно. Одна точка пересечения имеет координаты примерно $(1.6, 0.6)$, а вторая — примерно $(-2.6, -3.6)$.

Ответ: $(-2.6, -3.6)$, $(1.6, 0.6)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение, $x + y = 2$, или $y = 2 - x$, — это уравнение прямой. Построим ее по двум точкам:

• если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
• если $x = 2$, то $y = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков будут решениями системы. Из графика видно, что прямая пересекает окружность в двух точках, которые лежат на осях координат: $(2, 0)$ и $(0, 2)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, 2)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12; \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $xy = -12$, или $y = -\frac{12}{x}$, — это уравнение гиперболы. Ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• $x = -2, y = 6$
• $x = -3, y = 4$
• $x = -4, y = 3$
• $x = -6, y = 2$
• $x = 2, y = -6$
• $x = 3, y = -4$
• $x = 4, y = -3$
• $x = 6, y = -2$

Построим окружность и гиперболу в одной системе координат. Решениями системы являются координаты точек пересечения их графиков. Из графика видно, что окружность и гипербола пересекаются в четырех точках: $(-4, 3)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$ и $(4, -3)$.

Ответ: $(-4, 3)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$, $(4, -3)$.