Номер 454, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

454. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = (x - 5)^2, \\ xy = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - x = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x^2 = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ xy = 1. \end{cases}$

1) Чтобы определить количество решений системы графически, построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости и найдем количество точек их пересечения.
Первое уравнение: $y = (x - 5)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из параболы $y = x^2$ сдвигом на 5 единиц вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(5, 0)$.
Второе уравнение: $xy = 5$, или $y = 5/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Поскольку парабола $y = (x - 5)^2$ целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), она может пересекаться только с той ветвью гиперболы, которая находится в I четверти (где $x>0$ и $y>0$).
Примерный эскиз графиков показывает, что в первой четверти парабола и гипербола пересекаются в трех точках. Ветвь параболы, идущая от вершины $(5,0)$ влево, пересекает гиперболу дважды. Ветвь параболы, идущая вправо, пересекает гиперболу один раз, так как парабола растет быстрее, чем убывает гипербола.
Следовательно, система имеет три решения.

Ответ: 3.

2) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y - x = 3; \end{cases} $
Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.
Второе уравнение: $y - x = 3$, или $y = x + 3$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 1 и пересекающей ось Oy в точке $(0, 3)$.
Чтобы найти количество решений, определим, пересекаются ли прямая и окружность. Для этого найдем расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y + 3 = 0$.
Формула расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Подставляем наши значения: $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$
Радиус окружности $R=1$. Поскольку расстояние от центра до прямой ($d \approx 2.12$) больше радиуса ($R=1$), прямая и окружность не имеют общих точек.

Ответ: 0.

3) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} y - x^2 = 1, \\ x^2 + y = 4x; \end{cases} $
Первое уравнение: $y = x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.
Второе уравнение: $y = -x^2 + 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -b/(2a) = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$. $y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Вершина в точке $(2, 4)$.
Графики этих двух парабол — одна с ветвями вверх, другая с ветвями вниз — могут пересечься в двух точках, одной или не пересечься вовсе.
Чтобы найти количество точек пересечения, приравняем выражения для $y$: $x^2 + 1 = -x^2 + 4x$
$2x^2 - 4x + 1 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$
Поскольку $\Delta = 8 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что параболы пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

4) Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ xy = 1; \end{cases} $
Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 6$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{6} \approx 2.45$.
Второе уравнение: $xy = 1$, или $y = 1/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Окружность симметрична относительно начала координат, так же как и гипербола. Поэтому, если есть точки пересечения в I четверти, то симметричные им точки будут и в III четверти.
Рассмотрим I четверть, где $x > 0$ и $y > 0$. Точка на гиперболе $y=1/x$, ближайшая к началу координат, — это точка $(1, 1)$. Расстояние от нее до центра $(0, 0)$ равно $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Радиус окружности $R = \sqrt{6}$.
Поскольку $\sqrt{2} < \sqrt{6}$, гипербола "заходит" внутрь окружности. Ветвь гиперболы в I четверти начинается "из бесконечности", приближается к центру до точки $(1, 1)$, а затем снова удаляется "в бесконечность". Окружность — это замкнутая кривая. Следовательно, ветвь гиперболы пересечет окружность в двух точках в I четверти.
В силу симметрии, ветвь гиперболы в III четверти также пересечет окружность в двух точках.
Итого получаем $2 + 2 = 4$ точки пересечения.

Ответ: 4.