Номер 458, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

458. Докажите, что прямая $y - x = 3$ является касательной к окружности $(x + 5)^2 + y^2 = 2$, найдите координаты точки касания.

Доказательство того, что прямая является касательной

Прямая является касательной к окружности, если они имеют ровно одну общую точку. Чтобы найти количество общих точек, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. Если система имеет единственное решение, то прямая — касательная.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} y - x = 3 \\ (x + 5)^2 + y^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 3$.

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$(x + 5)^2 + (x + 3)^2 = 2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$x^2 + 10x + 25 + x^2 + 6x + 9 = 2$

$2x^2 + 16x + 34 = 2$

$2x^2 + 16x + 32 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество его корней соответствует количеству точек пересечения. Найдём дискриминант $D$ этого уравнения, где $a=1$, $b=8$, $c=16$:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$

Так как дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, что и доказывает, что прямая $y - x = 3$ является касательной к окружности $(x + 5)^2 + y^2 = 2$.

Ответ: Прямая является касательной, так как система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение (дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю).

Нахождение координат точки касания

Координаты точки касания — это единственное решение системы уравнений. Для их нахождения решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 16 = 0$, полученное на предыдущем шаге.

Данное уравнение является полным квадратом:

$(x + 4)^2 = 0$

Отсюда находим значение $x$:

$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Теперь найдём соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в уравнение прямой $y = x + 3$:

$y = -4 + 3 = -1$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-4, -1)$.

Ответ: Координаты точки касания: $(-4, -1)$.