Номер 463, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

463. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2,5, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2y} = \frac{15}{4}, \\ 4x + 5y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4, \\ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3}, \\ x^2 - y^2 = 72; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4(x - y)^2 + 7(x - y) = 15, \\ 2x + 5y = 1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} (x - y)^2 + 2x = 35 + 2y, \\ (x + y)^2 + 2y = 3 - 2x. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2,5 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} $

Обозначим в первом уравнении $t = \frac{x}{y}$. Тогда уравнение примет вид $t + \frac{1}{t} = 2,5$. Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Решим уравнение относительно $t$:
$t + \frac{1}{t} = 2,5$ | $\cdot t$ (при $t \neq 0$)
$t^2 - 2,5t + 1 = 0$ | $\cdot 2$
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $2x - 3y = 3$.
$2(2y) - 3y = 3$
$4y - 3y = 3$
$y = 3$
Тогда $x = 2y = 2 \cdot 3 = 6$.
Первое решение: $(6; 3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 0,5 \implies x = 0,5y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $2x - 3y = 3$.
$2(0,5y) - 3y = 3$
$y - 3y = 3$
$-2y = 3$
$y = -1,5$
Тогда $x = 0,5y = 0,5 \cdot (-1,5) = -0,75$.
Второе решение: $(-0,75; -1,5)$.

Ответ: $(6; 3)$, $(-0,75; -1,5)$.

2) $ \begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2y} = \frac{15}{4} \\ 4x + 5y = 3 \end{cases} $

Обозначим в первом уравнении $t = \frac{x - 2y}{x + y}$. Тогда уравнение примет вид $t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$. ОДЗ: $x+y \neq 0, x-2y \neq 0$.

Решим уравнение относительно $t$:
$t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}$ | $\cdot 4t$ (при $t \neq 0$)
$4t^2 - 4 = 15t$
$4t^2 - 15t - 4 = 0$
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{15 - 17}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$

Получаем два случая:

Случай 1: $\frac{x - 2y}{x + y} = 4$.
$x - 2y = 4(x + y)$
$x - 2y = 4x + 4y$
$3x + 6y = 0 \implies x = -2y$.
Подставим в второе уравнение $4x + 5y = 3$:
$4(-2y) + 5y = 3$
$-8y + 5y = 3$
$-3y = 3 \implies y = -1$.
Тогда $x = -2(-1) = 2$.
Решение: $(2; -1)$.

Случай 2: $\frac{x - 2y}{x + y} = -\frac{1}{4}$.
$4(x - 2y) = -(x + y)$
$4x - 8y = -x - y$
$5x = 7y \implies x = \frac{7}{5}y$.
Подставим в второе уравнение $4x + 5y = 3$:
$4(\frac{7}{5}y) + 5y = 3$
$\frac{28}{5}y + \frac{25}{5}y = 3$
$\frac{53}{5}y = 3 \implies y = \frac{15}{53}$.
Тогда $x = \frac{7}{5} \cdot \frac{15}{53} = \frac{21}{53}$.
Решение: $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$.

Ответ: $(2; -1)$, $(\frac{21}{53}; \frac{15}{53})$.

3) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 \\ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 \end{cases} $

Введем новые переменные: $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} u + 4v = 4 \\ v - 2u = 10 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 10 + 2u$.
Подставим в первое уравнение:
$u + 4(10 + 2u) = 4$
$u + 40 + 8u = 4$
$9u = -36$
$u = -4$
Найдем $v$:
$v = 10 + 2(-4) = 10 - 8 = 2$.

Теперь вернемся к исходным переменным:
$u = \frac{1}{x} \implies -4 = \frac{1}{x} \implies x = -\frac{1}{4}$.
$v = \frac{1}{y} \implies 2 = \frac{1}{y} \implies y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$.

4) $ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ x^2 - y^2 = 72 \end{cases} $

В первом уравнении сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.
$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ | $\cdot 3t$ (при $t \neq 0$)
$3t^2 + 3 = 10t$
$3t^2 - 10t + 3 = 0$
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Получаем два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y$.
Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 = 72$:
$(3y)^2 - y^2 = 72$
$9y^2 - y^2 = 72$
$8y^2 = 72$
$y^2 = 9 \implies y_1 = 3, y_2 = -3$.
Если $y=3$, то $x=3 \cdot 3 = 9$. Решение: $(9; 3)$.
Если $y=-3$, то $x=3 \cdot (-3) = -9$. Решение: $(-9; -3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$.
Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 = 72$:
$x^2 - (3x)^2 = 72$
$x^2 - 9x^2 = 72$
$-8x^2 = 72$
$x^2 = -9$. Нет действительных решений.

Ответ: $(9; 3)$, $(-9; -3)$.

5) $ \begin{cases} 4(x - y)^2 + 7(x - y) = 15 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $

В первом уравнении сделаем замену $t = x - y$.
$4t^2 + 7t - 15 = 0$
$D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 49 + 240 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{-7 - 17}{8} = \frac{-24}{8} = -3$
$t_2 = \frac{-7 + 17}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x - y = -3 \implies x = y - 3$.
Подставим во второе уравнение $2x + 5y = 1$:
$2(y - 3) + 5y = 1$
$2y - 6 + 5y = 1$
$7y = 7 \implies y = 1$.
Тогда $x = 1 - 3 = -2$.
Решение: $(-2; 1)$.

Случай 2: $x - y = \frac{5}{4} \implies x = y + \frac{5}{4}$.
Подставим во второе уравнение $2x + 5y = 1$:
$2(y + \frac{5}{4}) + 5y = 1$
$2y + \frac{5}{2} + 5y = 1$
$7y = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \implies y = -\frac{3}{14}$.
Тогда $x = -\frac{3}{14} + \frac{5}{4} = \frac{-6 + 35}{28} = \frac{29}{28}$.
Решение: $(\frac{29}{28}; -\frac{3}{14})$.

Ответ: $(-2; 1)$, $(\frac{29}{28}; -\frac{3}{14})$.

6) $ \begin{cases} (x - y)^2 + 2x = 35 + 2y \\ (x + y)^2 + 2y = 3 - 2x \end{cases} $

Преобразуем уравнения системы:
Первое уравнение: $(x - y)^2 + 2x - 2y = 35 \implies (x - y)^2 + 2(x - y) = 35$.
Второе уравнение: $(x + y)^2 + 2y + 2x = 3 \implies (x + y)^2 + 2(x + y) = 3$.

Введем новые переменные: $u = x - y$ и $v = x + y$.
Система примет вид: $ \begin{cases} u^2 + 2u - 35 = 0 \\ v^2 + 2v - 3 = 0 \end{cases} $

Решим первое квадратное уравнение относительно $u$:
$u^2 + 2u - 35 = 0$. По теореме Виета, $u_1 + u_2 = -2$, $u_1 \cdot u_2 = -35$.
Корни: $u_1 = 5, u_2 = -7$.

Решим второе квадратное уравнение относительно $v$:
$v^2 + 2v - 3 = 0$. По теореме Виета, $v_1 + v_2 = -2$, $v_1 \cdot v_2 = -3$.
Корни: $v_1 = 1, v_2 = -3$.

Получаем 4 комбинации для $u$ и $v$, и для каждой решим систему: $ \begin{cases} x - y = u \\ x + y = v \end{cases} $ Сложив уравнения, получим $2x = u + v \implies x = \frac{u+v}{2}$.
Вычтя первое из второго, получим $2y = v - u \implies y = \frac{v-u}{2}$.

Случай 1: $u = 5, v = 1$.
$x = \frac{5+1}{2} = 3$
$y = \frac{1-5}{2} = -2$
Решение: $(3; -2)$.

Случай 2: $u = 5, v = -3$.
$x = \frac{5-3}{2} = 1$
$y = \frac{-3-5}{2} = -4$
Решение: $(1; -4)$.

Случай 3: $u = -7, v = 1$.
$x = \frac{-7+1}{2} = -3$
$y = \frac{1-(-7)}{2} = 4$
Решение: $(-3; 4)$.

Случай 4: $u = -7, v = -3$.
$x = \frac{-7-3}{2} = -5$
$y = \frac{-3-(-7)}{2} = 2$
Решение: $(-5; 2)$.

Ответ: $(3; -2)$, $(1; -4)$, $(-3; 4)$, $(-5; 2)$.