Номер 467, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

467. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y - xy = 1, \\ x + y + xy = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3xy + 2x = -4, \\ 3xy + y = -8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy - x = 24, \\ xy - y = 25; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66, \\ 2x^2 - y^2 = 34. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y - xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases} $
Этот тип систем удобно решать методом алгебраического сложения и вычитания.
Сложим первое и второе уравнения системы:
$ (x + y - xy) + (x + y + xy) = 1 + 9 $
$ 2x + 2y = 10 $
$ x + y = 5 $
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$ (x + y + xy) - (x + y - xy) = 9 - 1 $
$ 2xy = 8 $
$ xy = 4 $
В результате мы получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это уравнение, разложив на множители:
$ (t - 1)(t - 4) = 0 $
Корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1, 4)$ и $(4, 1)$.
Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

2) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 3xy + 2x = -4 \\ 3xy + y = -8 \end{cases} $
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы избавиться от члена $3xy$:
$ (3xy + 2x) - (3xy + y) = -4 - (-8) $
$ 2x - y = 4 $
Выразим $y$ через $x$:
$ y = 2x - 4 $
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы:
$ 3x(2x - 4) + (2x - 4) = -8 $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 6x^2 - 12x + 2x - 4 = -8 $
$ 6x^2 - 10x + 4 = 0 $
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{6} $
$ x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
$ x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x - 4$:
Если $x_1 = \frac{2}{3}$, то $y_1 = 2(\frac{2}{3}) - 4 = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{8}{3}$.
Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{2}{3}, -\frac{8}{3}), (1, -2)$.

3) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} xy - x = 24 \\ xy - y = 25 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$ (xy - y) - (xy - x) = 25 - 24 $
$ x - y = 1 $
Выразим $x$ через $y$:
$ x = y + 1 $
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$ (y + 1)y - (y + 1) = 24 $
$ y^2 + y - y - 1 = 24 $
$ y^2 - 1 = 24 $
$ y^2 = 25 $
Отсюда $y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = y + 1$:
Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 5 + 1 = 6$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 1 = -4$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(6, 5), (-4, -5)$.

4) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66 \\ 2x^2 - y^2 = 34 \end{cases} $
Данная система является линейной относительно переменных $x^2$ и $y^2$. Используем метод сложения.
Сложим два уравнения системы:
$ (2x^2 + y^2) + (2x^2 - y^2) = 66 + 34 $
$ 4x^2 = 100 $
$ x^2 = 25 $
Отсюда $x = \pm 5$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$ (2x^2 + y^2) - (2x^2 - y^2) = 66 - 34 $
$ 2y^2 = 32 $
$ y^2 = 16 $
Отсюда $y = \pm 4$.
Поскольку в уравнения входят только $x^2$ и $y^2$, любая комбинация знаков для $x$ и $y$ будет являться решением.
Таким образом, мы имеем четыре пары решений.
Ответ: $(5, 4), (5, -4), (-5, 4), (-5, -4)$.